Понятие об устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости

Под устойчивостью понимают способность системы само­стоятельно приходить к последующему установившемуся состоя­нию после приложения воздействия, которое вывело ее из состоя­ния равновесия. Исследование устойчивости является одной из основных задач в теории автоматического управления.

Замкнутая система в силу свойств, обусловленных наличи­ем обратной связи, склонна к неустойчивой работе. В процессе регулирования сигнал с выхода передается на вход группы звень­ев системы, среди которых могут быть колеба­тельные элементы. Приложение внешнего воздействия может привести к возмущенному состоянию системы, сопровождающе­муся колебаниями регулируемой (выходной) величины. Наличие главной обратной связи будет способствовать поддержанию коле­бательного процесса и при больших коэффициентах усиления, если параметры системы не обеспечивают необходимого затуха­ния энергии колебаний, может привести к неустой­чивой работе, характеризуемой неограниченным возрастанием амплитуды колебаний. В устойчивых системах энергия колебаний с течением времени уменьшается, колебания затухают.

Работа системы в переходном режиме описывается системой дифференциальных уравнений, на основании которых может быть написано одно-единственное дифференциальное уравнение. Его порядок определяется количеством и свойствами динамиче­ских звеньев.

Понятие «устойчивость» в смысле его математической трак­товки впервые в науку ввел русский ученый А.М.Ляпунов. Он дал строгую и законченную постановку задачи об устойчивости движения и методы ее решения. При исследовании устойчивости системы в общем случае приходится иметь дело с нелинейными зада­чами. Нелинейное дифференциальное уравнение, характеризую­щее возмущенное состояние системы, может быть разложено в ряд Тейлора и представлено в виде уравнения первого, второго или n-го приближения, содержащего величины первого, второго или n-го порядка малости. А.М.Ляпунов показал, что все случаи исследования устойчивости следует разделять на две категории: некритических (наиболее часто встречающихся) и критических случаев. Для категории некритических случаев справедливы две следующие теоремы.

Теорема первая. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрица­тельны, то система будет устойчивой независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Теорема вторая. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то система будет не­устойчивой независимо от членов разложения выше первого по­рядка малости.

Все критические случаи имеют место лишь тогда, когда среди корней характеристического уравнения первого приближе­ния имеется некоторая группа корней, вещественная часть кото­рых равна нулю, а остальная группа корней имеет отрицательную часть. В этом случае вопрос об устойчивости не может быть ре­шен на основании исследования уравнений первого приближения.

Поскольку уравнение первого приближения можно рас­сматривать как линеаризованное дифференциальное уравнение, то условия устойчивости А.М.Ляпунова справедливы и для ли­нейных систем. Пусть, например, система описывается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

(5.1)

Решение этого уравнения:

(5.2)

где р₁, р₂, …р_n – корни характеристического уравнения

(5.3)

Если система устойчива, то функция x(t) при t, стремящемся к бесконечности, будет приближаться к b/a0, что возможно лишь в том случае, если каждый из членов exp(p_it) будет стремиться к нулю. Для этого все корни р₁, р₂, …р_n должны иметь отрицательную вещественную часть. Корни характеристического уравнения можно представить в виде векторов, расположенных в комплексной плоскости (рисунок 5.1). Очевидно, что система будет устойчивой, если все кор­ни располагаются слева от мнимой оси.

Рисунок 5.1 – Распределение корней в комплексной плоскости

В случае, если один ве­щественный корень или пара комплексно-сопряженных корней располагаются на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколеба­ния). Эти системы часто относят к неустойчивым, так как они практически неработоспособны. Линейные системы, характери­стические уравнения которых имеют один нулевой корень при всех остальных корнях, расположенных левее мнимой оси, назы­вают нейтрально-устойчивыми. Для того чтобы все корни оказа­лись в левой полуплоскости, можно воздействовать на коэффици­енты характеристического уравнения, которые, согласно теореме Виета, связаны с корнями непрерывными зависимостями.

При исследовании устойчивости системы возможно решение следующих задач:

- выяснение, является ли устойчивой система при заданных параметрах;

- определение допустимых изменений некоторых параметров (при неизменных остальных параметрах и заданной структуре) без нарушения устойчивости системы;

- анализ структуры системы и определение параметров, при которых она может стать устойчивой (анализ структурной устойчивости).

Первая задача может быть решена различными методами. Можно определить корни характеристического уравнения и по ним установить знаки их вещественных частей. Однако такой ме­тод может быть использован, когда порядок характеристического уравнения ниже третьего. Уже для кубического уравнения трудно определить корни, не говоря об уравнениях более высоких по­рядков. Кроме того, для определения устойчивости совершенно не обязательно знать значение корней характеристического уравне­ния. Достаточно убедиться только в отрицательности веществен­ных частей корней. Поэтому представляется целесообразным вос­пользоваться другими, более простыми методами определения устойчивости, основанными на установлении факта отрицатель­ности вещественных частей корней без нахождения их значения. Такие методы основываются на использовании критериев устой­чивости, например алгебраических критериев Рауса и Гурвица, частотных критериев Михайлова и Найквиста, а также условий устойчивости, определяемых логарифмическими частотными ха­рактеристиками.

Для решения второй задачи могут быть использованы мето­ды выделения областей устойчивости.

5.2 Алгебраические критерии устойчивости

5.2.1 Критерий Рауса

Алгебраические критерии устойчивости позволяют устано­вить, устойчива система или нет, по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения. Условия, устанавливающие факт отрицательности вещественных частей корней, и будут являться критериями устойчивости. Впер­вые подобный критерий был предложен английским математиком Э.Раусом в 1877 году в виде алгоритма.

Пусть дано характеристическое уравнение

а₀ рⁿ + a₁ p^n-1 + ... + a_n-1 p + a_n =0. (5.4)

В первой строке таблицы Рауса записывают в порядке возрастания индексы коэффициентов характеристического уравнения (6.4), имеющие четный порядок: а₀ а₂ а₄ а₆ …

Во второй строке коэффициенты с нечетным порядком: а₁ а₃ а₅ а₇ .. . Остальные строки состоят из элементов, определяемых по формуле

C_k,i = C_k+1,i-2 – r_i C_k+1,i-1 (5.5)

r_i = C₁,_i-2 / C_1,i-1 (5.6)

где k – номер столбца;

i – номер строки.

Число строк таблицы Рауса равно (n +1). Коэффициенты критерия Рауса сведены в таблицу 5.1.

Таблица 5.1 - Коэффициенты критерия Рауса

Критерий Рауса: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при а₀>0 были положительными:

С₁₁ = а₀ >0; C₁₂ = a₁ >0; C₁₃ >0; ..... C_1,n+1 >0 (5.7)

5.2.2 Критерий Гурвица

В 1895 году немецкий математик Гурвиц А. предложил следующий метод: из коэффициентов характеристического уравнения (5.4) сначала строят главный определитель

(5.8)

Глав­ный определитель составляется так, что по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения начиная с а₁ в возрас­тающем порядке до а_n . От каждого коэффициента главной диа­гонали по вертикали вверх выписываются коэффициенты с воз­растающими и вниз - с убывающими индексами. Места в матрице коэффициентов с индексами больше n и меньше 0 за­полняются нулями. Вещественные части корней будут отрицательными в том случае, если все коэффициенты уравнения и диагональные миноры главного определителя будут положительными.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента а0 характеристического уравнения, т.е. при а ₀ >0 были положительными

(5.9)

Обычно критерий Гурвица применяется для систем с n ≤ 4, выше используется критерий Льенара – Шипара. В последнем столбце главного определителя (6.8) отличен от нуля только а_n , поэтому

Δ_n = a_n Δ_n-1 . (5.10)

Поэтому для проверки устойчивости САУ достаточно найти Δ₁ – Δ_n-1. Если все определители Δ₁ – Δ_n-1 >0, а главный Δ_n = 0, то САУ находится на границе устойчивости. Это возможно только в двух случаях: a_n = 0 или Δ_n-1 >0. В первом (a_n = 0) САУ находится на границе апериодической устойчивости (один из корней s_i = 0); во втором (Δ_n-1 >0) на границе колебательной устойчивости (2 комплексно-сопряженных корня находятся на мнимой оси s_i = jωi; s_i+1 = -jωi).

Для систем, имеющих характеристические уравнения n ≥ 5 удобно применять одну из модификаций критерия Гурвица, предложенную в в 1914 году Льенаром П. и Шипаром Р.: для того чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

a₀ >0, a₁ >0, ..........a_n >0 (5.11)

Δ₁ >0, Δ₃ >0, Δ₅ >0......... – нечетные определители

или

a₀ >0, a₁ >0, ..........a_n >0 (5.12)

Δ₂ >0, Δ₄ >0, Δ₆ >0......... – четные определители

Очевидно, что этот критерий требует в два раза меньше раскрытий определителей, чем критерий Гурвица, поэтому особенно удобен при исследовании устойчивости САУ высшего порядка.

Рассмотрим выражение критерия Гурвица для некоторых уравнений.

Уравнение третьего порядка

a₀ р³ +а₁ р² +а₂ р + а₃ = 0.

Главный определитель

Условие Гурвица (а₁ а₂ –а₀ а₃ ) > 0, а₃ (а₁ а₂ – а₀ а₃ ) > 0, a_i > 0, i = 1, 2, 3.

Следовательно, система будет устойчивой, если все коэффи­циенты а₀,а₁,a₂,а₃ положительны и а₁a₂ – a₀a₃ >0, т.е. а₁a₂ > a₀a₃. Для уравнений третьего порядка при положительных коэффициентах а₀,а₁,a₂,а₃ и выполнения условия а₁a₂ > a₀a₃ называется критерием устойчивости Вышнеградского.

Уравнение четвертого порядка

а₀ р⁴ +a_l p³ +a₂ p² + а₃ р + а₄ = 0.

Главный определитель

Условия Гурвица

или

Δ₃ = а₃(а₁а₂ - а₀а₃) – а₁² а4 = а₃ Δ₂ – а₁² а4 >0.

Определитель Δ₃ может быть положительным лишь при ус­ловии Δ₂ > 0. Поэтому условие устойчивости для уравнения чет­вертого порядка может быть выражено соотношением

а₃ (а₁а₂ –a₃ a₀) – а₁² а4 > 0.

Уравнение пятого порядка

а₀р⁵ + а₁р⁴ +а₂р³ +а₃р² +а₄р + а₅ = 0.

Система, описываемая уравнением пятого порядка, устой­чива, если

Δ₃ = а₁(а₂а₃ – а₁а₄) – а₀а₃² >0.

Δ₄ = (a₃a₄ -а₂а₅)(а₁а₂ -а₀а₃)- (а₁а₄ -а₀а₅)² > 0.

Примеры:

D(s) = 12S⁴ + 2S² +4S + 50 = 0 - система неустойчива, т.к. а₁ = 0.

D(s) = 3S⁵ +10S⁴ + 5S³ - 7S² +S + 10 = 0 - система неустойчива, т.к. а₃ = -7<0.

D(s) = 2S³ + 6S² +10S + 15 = 0 - система устойчива, т.к. а₁a₂ > a₀a₃ или 6 ∙ 10>2 ∙ 15