Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли

Графически уравнение Бернулли (5.19) можно представить в виде диаграммы (рис. 5.5), где показано изменение высот (напоров) вдоль потока. Линия изменения пьезометриче- ских высот называется пьезометрической линией, ее можно рассматривать как геометриче- ское место уровней в пьезометрах, установленных вдоль трубы. Из уравнения расхода и уравнения Бернулли следует, что если площадь поперечного сечения потока уменьшается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот, если поток (труба) расширяется, то скорость уменьшается, а давление возрастает, что и отражается на форме пьезометрической линии. Если жидкость течет по трубе постоянного сечения, то из условия неразрывности потока скорость течения и кинетическая энергия жидкости остаются неизменными вдоль трубы. В этом случае на преодоление сопротивления движению жидко- сти расходуется энергия давления. Таким образом, пьезометрическая высота может изме- няться как в результате изменения площадей сечений потока, так и из-за возникновения по- терь энергии.

Линия полного напора для потока вязкой жидкости показывает характер уменьшения полной удельной механической энергии (полного напора) вдоль трубы вследствие потерь

энергии [см. формулу (5.19)]. Потери представлены на диаграмме высотой

hf , которая неук-

лонно возрастает вдоль потока. Интенсивность понижения линии полного напора на рас- сматриваемом участке трубы характеризуется гидравлическим уклоном. Вертикальные от- резки (высоты), заключенные между линией полного напора и пьезометрической линией, дают величину скоростного напора (удельной кинетической энергии) в различных сечениях (в принятом масштабе).

Для определения взаимного высотного расположения отдельных точек, уровней гид- росистемы используется горизонтальная плоскость, проведенная на произвольной высоте и называемая плоскостью сравнения. Положение плоскости выбирается из практических сооб- ражений (например, нулевая отметка на измерительной шкале, свободная поверхность бас- сейна и т. п.). Вертикальное расстояние рассматриваемой точки от плоскости сравнения (0–0) называется геометрической высотой z.Взаимное высотное расположение двух точек 1 и 2 определяется как разность геометрических высот этих точек: Dz = z1 - z2 .Как видно из схемы (рис. 5.6),для любых двух сечений можно составить равенство суммы высот в форме урав- нения (5.35),которое является геометрической интерпретацией уравнения Бернулли и пояс- няет его энергетический смысл.

При энергетической трактовке уравнения Бернулли (5.35) члены уравнения представ-

a

1 2g

υ 2

hf1-2

hf1-3

a

2 g

υ 2

a3

2g

υ2

H3 H2

H1

p1 r g

υ

p

ср1

υср2

r g

z1

l1

z2

υср3

l2

z3

p (r g )

пьезометрическая линия

ляют собой различные формы удельной механической энергии жидкости, приходящейся на единицу ее веса (размер-

ность

Dж = H´м = м ):

линия полного напора

H H

z – удельная потенци- альная энергия положения;

p – удельная потен-

ρ g

циальная энергия давления (возможная работа сил дав- ления, отнесенная к единице веса жидкости);

2 0 0

υср

α

2g

– удельная кине-

тическая энергия потока в данном сечении;

Рис. 5.5. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

z + p

ρ g

p

– удельная потенциальная энергия;

υ2

z + + α ср = H

ρ g 2 g

– полная удельная механическая энергия движущейся жидкости в

данном сечении (среднее по сечению значение полной удельной энергии);

hf1-2 – суммарные потери полной удельной энергии (полного напора) на участке тру- бопровода между сечениями 1 и 2.

Из уравнения Бернулли (5.35) следует:

æ p υ2 ö æ p

υ2 ö

è

h = H - H

= çz

+ 1 + α

ср1 ¸-çz+

2 + α

ср 2 ¸.

(5.39)

f 1-2

1 2 ç 1 ρg

1 2 g ¸ ç 2 ρ g

2 2 g ¸

ø

ø

è

Потери удельной механической энергии потока (гидравлические потери) обусловлены работой сил внутреннего трения и вихреобразованием. Они складываются из потерь напора

(энергии) на трение по длине трубопровода

hтр

и потерь в местных сопротивлениях, распо-

ложенных на рассматриваемом участке,

hм:

hf = hтр + hм . (5.40)

При ламинарном течении потери напора на трение по длине возрастают пропорционально скорости (расхо- ду) в первой степени (формула Пуазейля), при переходе к турбулентному течению имеется некоторый скачок со-

hтр

ламинарный режим

турбулентный режим

противления, и затем происходит нарастание

hтр

по кри-

вой, близкой к параболе второй степени (рис. 5.6).

Вихревые потери, связанные с отрывом потока и вихреобразованием в самом местном сопротивлении или за ним, при турбулентном и ламинарном течениях про- порциональны скорости во второй степени.

υкр υ

Рис. 5.6. Потери на трение