Глава 1. Основные определения

Основные определения матрицы

Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы:

.

Такая таблица, состоящая из строк и столбцов, содержит клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер и ее называют ( )-матрицей. Позиция на пересечении -й строки и -го столбца называется -клеткой. Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной.

В общем обозначении элемента первый индекс всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца. Элемент, расположенный в -клетке, называют -элементом.

Две матрицы равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т. е. при условии ( ). Ясно, что сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между элементами которых определено отношение равенства. Матрицы, элементами которых являются вещественные или комплексные числа, называют соответственно вещественными или комплексными. Пусть – комплексная ( )-матрица с элементами . Матрица того же размера с элементами называется комплексно сопряженной с .

Матрица может иметь любое количество строк и столбцов (конечное или бесконечное). Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она соответственно называется столбцевой или строчной (употребляются также названия матрица-столбец и матрица-строка).

Столбцевую и строчную матрицы называют также векторами и сокращенно обозначают как и . Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и равно , называется квадратной матрицей порядка . Совокупность
 -клеток ( ) образует главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной и обозначается . Если в диагональной матрице , то имеем единичную матрицу -го порядка, которая часто обозначается .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается цифрой 0. Заметим, что нулевая матрица может иметь любой размер , в то время как единичная матрица – всегда квадратная. Матрица, состоящая только из одного элемента, обычно отождествляется с этим элементом. Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если равны нулю все элементы, расположенные под (над) главной диагональю.