Нейтральная ось композитного стержня.

Будем считать, что при том нейтральная ось стержня перейдет в некое другое положение. Согласно предположению Бернулли сохраним гипотезу плоских сечений, согласно которой изогнутое сечение не сжимается в поперечном направлении и остается плоским и перпендикулярным нейтральной оси, которая расположена на расстоянии от нижней кромки (Рис. 18.1)

Продольные перемещения в любом волокне слоистого стержня

, (18.1)

где осевое перемещение точек нейтральной оси, - прогиб сечения, а (y) - расстояние описываемого тонкого волокна от нейтральной оси (Рис.18.1). Далее обозначения упараметров координаты «y» за очевидностью опускаем.

Относительная деформация в продольном направлении

(18.2)

порождает нормальные напряжения

. (18.3)

Для поперечного сечения, находящегося в сжато-изогнутом состоянии, нормальные напряжения приводятся к осевой силе

(18.4)

и к изгибающему моменту

, (18.5)

где

, , . (18.6)

Теперь найдем положение нейтральной оси из условия, что ось не изгибается,

то есть, продольные усилия в сечении связываются только с деформацией нейтральной оси , а изгибающий момент - только с кривизной оси . Положим в (18.4) и учтем, что . Получим

, (18.7)

где обозначено

(18.8)

Теперь из (18.7) получаем положение нейтральной оси

(18.9)

Теперь соотношения (18. 4), (18. 5) принимают вид

, , (18.10)

где с учетом (18. 9) обозначено

,

(18.10)

Из (18.3), (18.10) получаем такое окончательное выражение для напряжений

(18.11)

Здесь B и D, аналогично теории изотропных стержней, обозначают жесткости на растяжение-сжатие и изгиб. Они, так же как координата нейтральной оси и изгибная жесткость стержня, вычисляются через параметры сечения.

Для изотропного стержня с b=const из материала с модулем E имеем

, , , , .

Слоистый стержень.

Рассмотрим общий случай слоистого стержня (Рис18.2)

Здесь n – количество слоев,

, - модуль и толщина i-гослоя,

- расстояние от нижней кромки сечения до

верхней кромки i-гослоя, при этом = 0, а = h, параметры e и D определяются по формулам (18.7), (18.9), модуль стержня , модули накладок и .

Таким образом примем:

, , , , и т. д.

Для параметров стержня имеем:

,

, (18.12)

,

Уравнение изгиба композиционной балки поперечной нагрузкой q полностью аналогично сопромату

,

только изгибная жесткость определяется формлуой (18.11).

Устойчивость слоистой балки описывается уравнением

,

полностью идентичным рассмотренным ранее.

Критическая сила в задаче Эйлера

.

Таким образом, слоистые стержни расчитываются аналогично однородным, однако предварительно нужно найти параметры (18.12).