Предел последовательности

Последовательность называется сходящейся, если существует вещественное число такое, что для любого найдется число (возможно не целое и зависящее от ), что при выполнении условия имеет место неравенство . При этом число называется пределом последовательностии обозначается

.

Определение предела последовательности с помощью кванторов можно записать так:

.

Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 1. Если число является пределом последовательности , то для любого числа вне промежутка содержится лишь конечное количество членов последовательности . На рис. 1 членам последовательности соответствуют точки, а промежутке – светлая полоса.

Рис. 1

Непосредственно из определения сходящейся последовательности, следует следующее утверждение.

Теорема 4.1. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Замечание 4.1. Из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. Например, последовательность

(4.1)

является ограниченной, но она не является сходящейся. Однако справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.2 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Для последовательности (4.1) любая подпоследовательность, у которой начиная с некоторого номера все члены равны 1 (или равны 2), является примером сходящейся подпоследовательности.