Одномерное установившееся движение газов по линейному закону фильтрации

Согласно линейному закону фильтрации весовая скорость фильтрации газа в горизонтальном направлении, противоположном направлению оси х, равна:

, (4.1)

где γ — удельный вес газа, µ— его абсолютная вязкость, принимаемая постоянной, остальные обозначения прежние.

Рассматривая движение газа в пористой среде как изотермический процесс и считая газ идеальным, в качестве уравнения состояния газа можно принять:

(4.2)

где γат — удельный вес газа при атмосферном давлении р_ат и пластовой температуре, причем согласно характеристическому уравнению идеальных газов

Здесь R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура.

Подставляя в правую часть уравнения (4.1) значение γ из формулы (4.2), получим:

(4.3)

Обозначим через G - весовой расход газа, Q - объемный расход газа, F - площадь вертикального сечения пласта. Тогда

(4.4)

Подставляя в формулу(4.4) значение весовой скорости фильтрации газа из формулы (4.3), получим:

(4.5)

Введем, следуя Л. С. Лейбензону [100], переменную Р = р². Дифференцируя Р по х, находим:

что дает

Подставляя это значение в формулу (4.5), имеем:

(4.6)

Поскольку весовой расход газа в случае установившейся фильтрации постоянен, то уравнение (4.6) содержит две переменные Р и х, разделив которые имеем:

(4.7)

Граничные условия выражаются следующим образом:

х=0, р=р_г, Р=Р_г=р_г²

при

х=L_k, р=р_к, Р=Р_к=р_к², (4.8)

где р_г — давление газа на выходе из пласта, который (выход) мы условно назовем галереей;

р_к — давление на контуре пласта, удаленном на расстояние L_K от галереи.

Интегрируя уравнение (4.7) по Р в пределах от Р_г до Р_к и по х от 0 до L_K и решая полученное уравнение относительно G, находим весовой расход газа:

или

(4.9)

Для нахождения распределения давления в пласте проинтегрируем уравнение (4.7) в пределах от Рг до Р и от 0 до ж.

,

отсюда

, (4.10)

. (4.11)

Из формулы (4.9) имеем:

.

Подставляя это выражение в уравнение (4.11), получим:

, (4.12)

Если уравнение (4.7) проинтегрировать по Р в пределах от до Р и по х от L_K до х, то, аналогично предыдущему, формулу распределения давления в пласте получим в виде:

(4.13)

Когда начало координат находится на контуре питания и направление оси х совпадает с направлением движения газа, в формулу (4.13) вместо (L_K- х) надо подставить х. Тогда

. (4.14)

Формулы (4.11), (4.12) и (4.13) представляют уравнения распределения давления в пласте. В отличие от одномерного движения несжимаемой жидкости, в котором величина давления является линейной функцией координаты х, формулы (4.11) и (4.12) являются уравнениями параболы. На рисунке 4.1 показана кривая распределения давления при установившейся одномерной фильтрации газа (парабола), построенная по формуле (4.12). Если по оси ординат откладывать не давления р, а квадраты давлений р² = Р, а по оси абсцисс - значения х, то получим прямую линию (рисунок 4.2).

Определим величину средневзвешенного по объему пласта давления р'.

Обозначим Ω - объем порового пространства газового пласта, L_K — длина пласта (расстояние от контура питания до галереи).

Тогда:

. (4.15)

Среднее давление

, (4.16)

где элементарный объём пористой среды равен:

(4.17)

Рисунок 4.1. Распределение давления в пласте при установившейся одномерной фильтрации газа по линейному закону фильтрации.

Рисунок 4.2. Распределение квадратов давления Рв пласте при установившееся одномерной фильтрации газов по линейному закону фильтрации.

Подставляя в уравнение (4.16) вместо Ω, dΩ и рих значения из формул (4.15), (4.17) и (4.14), получим:

что после интегрирования дает тождественные равенства

(4.18)

Рассмотрение формулы (4.18) показывает, что в условиях линейной фильтрации среднее давление р не зависит от длины L_K пласта и может значительно отличаться от контурного давления р_к. Так, в частном случае при р_Г =0

(4.19)

т. е. среднее давление составляет 2/3 от контурного давления.

Найдем приведенный к атмосферному давлению объемный расход газа Q. Для этого разделим весовой расход газа G на удельный вес его при атмосферном давлении р_ат. Из формулы (4.9) имеем:

(4.20)

Из формул (4.20) и (4.9) видно, что, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, расход газа прямо пропорционален не разности давлений (р_к-р_г), а разности квадратов давлений. Если по оси ординат отложить значения Q или G, а по оси абсцисс соответствующие им значения депрессии (р_к - р_г), то получим параболу, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, для которой индикаторная линия выражается прямой (рисунок 4.3).

Найдем скорость фильтрации газа. Для этого приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре расход газа Q разделим на величину - F, тогда из формулы (4.20) получим:

(4.21)

где значения давления р даются формулами (4.10) или (4.11).

Формулу (4.21) можно также получить продифференцировав уравнение (4.12) по х и умножив (в соответствии с линейным законом фильтрации) полученное значение градиента давления dp/dx на величину k/µ.

Поскольку с уменьшением х величина р уменьшается, по мере приближения к галерее скорость фильтрации газа увеличивается, в отличие от одномерного движения несжимаемой жидкости, при котором скорость фильтрации постоянна.

Обозначим через Q — объемный расход газа, приведенный к среднеарифметическому давлению

. (4.22)

Подставляя в формулу (4.22) вместо Q его значение из уравнения (4.20), получим:

(4.23)

Формула (4.23) приведенного к среднеарифметическому давлению объемного расхода газа совпадает с формулой (4.6) расхода для одномерного движения несжимаемой жидкости.

Найдем из формулы (4.20) значение коэффициента проницаемости к.

(4.24)

Формулой (4.24) пользуются для лабораторного определения величины коэффициента проницаемости образцов пористой среды при помощи газа, причем в этом случае р_к и р_г - давление соответственно у входа и выхода газа в образец пористой среды, F - площадь поперечного сечения образца, a L_K его длина.

Если величину к определить из уравнения (4.23), то

(4.25)

Формула (4.25) аналогична формуле (4.15), справедливой для несжимаемой жидкости.

Сравнение формул распределения давления в пласте при установившейся фильтрации газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью показывает полное их совпадение. Аналогичное строение имеют и формулы расхода газа и жидкости в обеих указанных формулах расход пропорционален разности квадратов давлений. Математически это объясняется тем, что дифференциальные уравнения установившегося движения газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью одинаковы. С физической точки зрения указанную аналогию можно объяснить тем, что в обоих случаях по мере приближения к галерее (выходу из пласта) имеет место увеличение скорости фильтрации. При движении газа этот рост скорости фильтрации происходит за счет расширения газа вследствие падения давления, при движении жидкости со свободной поверхностью увеличение скорости фильтрации обусловлено уменьшением живого сечения пласта, вызванным непрерывным уменьшением высоты уровня жидкости в пласте по мере приближения ее к галерее.