Преобразования графиков

Приведем графики некоторых функций.

1) – прямая линия (рис.3).

Рис.3

2. – квадратичная парабола (рис.4);

Рис.4

3) – кубическая парабола (рис.5);

Рис.5

4) – гипербола (рис.6);

Рис.6

5) – график квадратного корня (рис.7);

Рис.7

Правила преобразования графиков:

Пусть дана функция

1. Для построения графика функции

исходный график симметрично отображаем относительно оси Ох (рис.8).

Рис. 8

2.

заданный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис.9).

Рис.9

3.

этот график получается параллельным переносом графика на масштабных единиц вдоль оси Оу вверх, если и вниз, если (рис.10).

Рис.10

4.

этот график получается параллельным переносом графика на масштабных единиц вдоль оси Ох вправо, если , и влево, если (рис.11).

Рис.11

5. где

график «растянут» в раз вдоль оси Оу (от оси Ох), если «сжат» в раз вдоль оси Оу (к Ох), если (рис.12).

Рис.12

6. где

график «растянут» вдоль оси Ох (от Оу) в раз при «сжат» вдоль Ох (к Оу) в раз, при (рис.13).

Рис.13

7. :

сохраняется та часть графика которая находится над Ох и на оси Ох, а та часть, которая находится под Ох, отображается симметрично Ох в верхнюю полуплоскость (рис.14).

Рис.14

8.

часть графика , соответствующая отрицательному значению х, отбрасывается, а неотрицательная – сохраняется и дополняется симметричной ей относительно оси Оу частью (рис.15).

Рис.15

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Преобразуем заданную функцию:

.

Получили .

Для построения графика полученной функции используем следующие преобразования:

1) строим график функции ;

2) график функции получаем из графика функции путем движения его на единицу вправо по оси ;

3) график функции получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси ;

4) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом на 2 единицы вниз по оси (рис.16).

Рис.16

Пример 2. Построить график функции .

Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию:

.

Шаги построения (рис. 17):

1) ;

2) – отображение симметрично в левую полуплоскость;

3) – смещение вдоль оси вправо на 2 единицы;

4) – увеличение коэффициента роста в два раза.

Рис.17

Пример 3.Построить график функции и найти наибольшее значение функции, если .

Решение.

.

Преобразуем функцию:

Данный график может быть получен из графика следующими преобразованиями (рис.18):

1) – смещение вдоль Ох на 1 влево;

2) – смещение вдоль Оу вверх на 1;

3) – отображение той части графика у₃, которая расположена ниже оси Ох в верхнюю полуплоскость (рис.16). Заметим, что такие же преобразования необходимо использовать к асимптотам функции (вертикальной) и (горизонтальной).

Анализ графика показывает, что наибольшее значение на функция достигает в точке . Вычисляем его:

.

Пример 4. Определить, при каком значении уравнение имеет ровно 3 решения:

.

Решение. Решим задачу графически.

Построим графики функций и , и исследуем, при каком значении они имеют ровно 3 общие точки.

Строим график функции ;

, т.е.

- парабола , вершина которой смещена в точку .

Для построения графика функции

сохраняем ту часть графика, которая находится над осью и на оси , а ту часть графика, которая находится под осью отображаем симметрично в верхнюю полуплоскость.

– прямая, параллельная оси .

по построению видно, что ровно 3 решения будет тогда и только тогда, когда .

Задания

I уровень

1.1. Постройте графики функций.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8)

II уровень

2.1.Постройте графики функций.

1) 2)

3) 4)

5) ; 6) ;

7) .

2.2. При каком a система имеет ровно одно решение.

2.3. При каком a система имеет ровно одно решение.

В ответ записать сумму полученных значений.

III уровень

3.1. Постройте графики функций.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3.2. Определите при каком система имеет:

1) одно единственное решение

2) ровно три решения

3) более трех решений

4) не имеет решений

3.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции , если . Выполните построение.