Уравнения высших степеней

Уравнение вида:

, (1)

где называется уравнением n-ой степени.

Если , уравнение называется линейным.

Если , уравнение называется квадратным.

Если , уравнение называется однородным.

Основными методами решения уравнений типа (1) при являются:

1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;

2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;

3) поиск корней среди делителей свободного члена.

Рассмотрим некоторые виды уравнений (1) и их решения.

Уравнения вида

решаются вынесением общего множителя за скобки:

и сведением к совокупности:

Уравнение вида

, , (2)

решаем заменой . Получаем уравнение , которое решается как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.

При уравнение (2) имеет вид

– биквадратное уравнение.

Уравнение

, (3)

где сводится к биквадратному уравнению заменой: .

Уравнение

, (4)

где и таковы, что и сводится к биквадратному заменой

или при к уравнению:

заменой

;

Уравнение

, (5)

где и делением на (т.к. – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:

,

далее заменой оно сводится к квадратному уравнению.

Уравнение

,

где и А таковы, что сводится к уравнению вида (5) после попарного перемножения выражений в скобках: .

Уравнения вида

, (6)

где , называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Так как

, то уравнение (5) равносильно совокупности уравнений:

Уравнения вида

, (7)

где , называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Так как – не является корнем уравнения (7), то деление обеих частей уравнения (7) на приводит его к уравнению:

или

.

Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выносим общий множитель за скобки:

Получаем совокупность уравнений

Ее решение дает три корня:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Заменяем и приходим к уравнению

Последнее уравнение имеет корни

Возвращаемся к переменной х:

Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:

Пример 3. .

Решение.

Задано уравнение вида (3). Заменяем

, т.е. . Подставим это значение в заданное уравнение:

После упрощения имеем

. Дополним до полного квадрата суммы

После упрощения уравнение приобретает вид

, т.е. .

Его решением является лишь .

Возвращаясь к переменной х, получим , что приводит к ответу .

Пример 4. .

Решение.

Имеем уравнение вида (4).

Так как и , перемножим попарно выражения в 1-й и 2-й скобках, а также в 3-й и 4-й. Получим

Заменяем .

Поскольку , и приходим к уравнению

Решая его как квадратное, получим корни:

Возвращаемся к переменной х:

Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, т.к. , а второе имеет корни

что и будет ответом.

Пример 5.Решить уравнение

Решение.

Имеем уравнение вида (5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на . Получаем

Введем замену , которая приводит к уравнению

, т.е.

Находим корни и возвращаемся к переменной х:

Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:

т.е.

Получаем в совокупности 4 корня:

Пример 6.Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена:

. Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Значит, многочлен разделится нацело на .

Воспользуемся правилом деления «углом»:

Данное уравнение равносильно уравнению:

решение которого сводится к совокупности

Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень .

Пример 8.Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на . Приходим к уравнению