Производная сложной функции

2. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (8) и обобщенную таблицу производных:

3.Рассмотрим функцию как , где – также сложная функция. Применив формулу (8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:

4.Пусть , тогда . Согласно формуле (8), получаем:

5.Рассмотрим функцию как , где .

Функцию можно представить в виде , где . Тогда:

6.Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Продифференцируем полученное выражение по формулам (3), (4), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных:

Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:

Пример 2. Вычислить , если .

Решение

Это сложная функция с промежуточным аргументом Дифференцируем её по формуле (8). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии .

.

Вычислим значение производной при :

Пример 3.Вычислить , если

Решение

Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

.

Теперь продифференцируем выражение по формулам (3), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных. Функцию рассмотрим как , где .

Теперь вычислим

и

Тогда