Первый и второй замечательные пределы
При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел:
(9)
Если при , то верна более общая формула первого замечательного предала:
(10)
Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .
Второй замечательный предел:
(11)
или
(12)
Если при , то обобщением формулы (11) является формула:
(13)
Если , то обобщением формулы (12) является:
(14)
Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .
Для того чтобы использовать, например, формулу (13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчёркиванием):
1) 2)
3) 4)
5) , при .
Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.
Пример 1. Вычислить предел функции:
1) 2)
3) 4)
Решение.1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
.
Последний предел, согласно формуле (9), равен 1.
Так как при выражение также стремится к нулю, то, умножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, получим:
Следовательно .
2. При непосредственном вычислении предела получаем неопределённость вида
Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на и преобразуем его к виду, когда можно использовать первый замечательный предел (формула (10)):
3. Выделим целую часть в основании степени:
Так как при исходное выражение представляет собой неопределенность типа , то, используя второй замечательный предел (формула (13)), имеем:
4. В данном случае получаем неопределённость вида . Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (формула (14)). Получим:
Для вычисления применим первый замечательный предел:
Таким образом, получаем ответ:
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2262;