Common /cblock/ a,ak,m

!входные данные; при указанных значениях

!результат для контроля: h = 0.8956242

!длина волны; размерности alambda и t одинаковые

alambda = 0.85

!толщина волноведущего слоя

t = 5.

!отн. диэл. проницаемость покрытия

e1 = 2.11

!отн. диэл. проницаемость волноведущего слоя

e2 = 2.14

!отн. диэл. проницаемость подложки

e3 = 2.12

!номер моды

m = 1

!погрешность значения корня

eps = 1e-6

!вычисляется коэффициент A

a = 2 * sqrt(e2-e3) * t/alambda

!вычисляется коэффициент K

ak = (e2-e1) / (e2-e3)

!обращение к функции решения уравнения F(x)=0

aksi = dih(1e-10,1.,eps)

!определение h

h = aksi * 2*3.14159/alambda * sqrt(e2-e3)

!вывод результата

print *, h

End

!--------------------------------------------------------------

!Функция решения уравнения F(x)=0 методом дихотомии

!с точностью eps при условии, что корень лежит в

!интервале от a до b

Function dih(a,b,eps)

!цикл, пока не достигнута требуемая точность

Do while((b-a) .gt. eps)

!c = середина отрезка [a,b]

c=(a+b)/2

!проверка знака функции в середине отрезка [a,b]

If(f(c) .gt. 0) then

!обновление правой границы если F(c) > 0

b=c

Else

!обновление левой границы если F(c) = 0

a=c

Endif

Enddo

!dih -- решение; F(dih) = 0 с точностью до eps

dih=(a+b)/2

Return

End

!--------------------------------------------------------------

!Функция F(x) для функции dih

Function f(x)

!переменные, получаемые из beta1

Common /cblock/ a,ak,m

f1 = atan( sqrt(1/x**2-1) )

f1 = (f1 + atan(sqrt(ak/x**2-1))) / 3.14159

f = a*x - m - f1

Return

End

!--------------------------------------------------------------

3.3. Метод аппроксимации

При решении уравнения (3.3) методом “половинного деления” основная трудность обусловлена необходимостью многократных вычислений достаточно “неудобной” функции . Метод аппроксимации позволяет преодолеть эти трудности.

Основная идея метода заключается в сведении уравнения (3.3) к квадратному путем введения аппроксимирующей функции для правой части уравнения (3.3). В результате такой аппроксимации решение (3.3) записывается в явном виде, а необходимая точность достигается простой итерационной процедурой, что значительно увеличивает быстродействие и эффективность алгоритма.

3.3.1 Алгоритм решения. На рисунке 3.2 представлена для примера зависимость в правой части (3.3) от параметра для Н-мод при разных значениях . Аналогичную форму имеют кривые и для Е-мод (рис.3.2).

Рис. 3.2. К решению трансцендентного уравнения методом аппроксимации.

Поскольку в (3.4) берутся главные значения арктангенсов, величина лежит в пределах

(3.9)

где b – параметр, определяемый из (3.4) при :

(3.10)

С учетом явного вида (рис.3.2) аппроксимирующая ее функция вводится следующим образом:

(3.11)

где – параметр, характеризующий “кривизну”.

При условии функции и имеют следующие свойства:

(3.12)

а их производные по параметру :

(3.13)

Выполнение условий (3.12), (3.13) означает, что обе функции имеют одинаковые граничные значения, монотонно убывают и являются выпуклыми в интервале .

Из условий (3.12), (3.13) следует, что функция и аппроксимирующая функция (3.11) не пересекаются. Однако, подбором параметра можно в любой точке добиться выполнения условия , где – сколь угодно малая величина. Параметр выбирается исходя из условия предельного равенства . С учетом формулы (3.11) устанавливается связь между абсциссами точек пересечения и значениями параметра :

(3.14)

Предельные значения соответствуют граничным значениям интервала :

(3.15а)

(3.15б)

Задание: получить соотношение (3.15,а) – (3.15,б).

Из выражения (3.14) следует, что функция убывает монотонно в пределах , т.е. между и существует взаимно-однозначное соответствие при следующих ограничениях на параметры планарного диэлектрического волновода (см. (3.1), (3.4) и таблицу 1):

Таблица 1

Мода	Симметричный волновод (n1=n3)	Несимметричный волновод (n3>n1)
Н Е	без ограничений	К 2,33

На рисунке 3.3. для примера представлены зависимость и графики функций, аппроксимирующих ее с “недостатком” и с “избытком” .

Заменяя функцию в (3.3) на аппроксимирующую ее функцию

, трансцендентное уравнение (3.3) сводится к квадратному относительно переменной :

(3.16)

Физическим решением этого уравнения относительно является (3.17)

Подставляя и в (3.17), находим два значения и абсцисс точек пересечения функции в левой части (3.3) с аппроксимирующими функциями и правой части уравнения (3.3) (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Аппроксимирующие функции.

Из рисунка 3.3 следует, что решением уравнения (3.3) является значение , лежащее в интервале

. (3.18)

Решение на первом шаге итерации записывается в виде

. (3.19)

Если точность полученного решения, определяемая величиной интервала недостаточна, то нужно использовать метод последовательных подстановок. Для этого вычисленные значения и подставляют в (3.14) и находят новые значения и . Затем эти значения подставляют в (3.17) и определяют два новых решения и , причем

. (3.20)

Аналогично (3.19) записывается новое решение на втором шаге итерации.

Если заданная точность не достигнута, то итерационный процесс продолжается дальше. Общие формулы для j-й итерации имеют следующий вид:

, (3.21)

i=1,2; j=1,2,3….

“Точное” значение находится в пределах , где

(3.22)

3.3.2. Программная реализация алгоритма по методу аппроксимации на алгоритмическом языке Фортран-90*⁾

Программа "beta2" предназначена для расчета поперечных волновых чисел h в волноведущем диэлектрическом слое для Н-волн планарного однородного изотропного диэлектрического волновода. Входные и выходные данные такие же, что и в программе "beta1" (см. п. 3.2.3). Вначале программа "beta2" вычисляет верхний и нижний пределы параметра кривизны по (3.15) и определяет границы области решения, которые затем использует в качестве начальных значений для итерационной процедуры. В ходе итерационной процедуры происходит обращение к функциям aksi и delta, реализующим вычисления по (3.21).

!--------------------------------------------------------------

!Программа расчета волнового числа h в волноводном

!диэлектрическом слое для H-волн планарного однородного

!изотропного диэлектрического волновода

Program beta2

!переменный, общие для beta1 и функций aksi и delta