Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями и соответственно; параллельно обслуживаться могут не более S клиентов. Система имеет S каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна - .

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

при

при (32)

Решение системы уравнений (32) имеет вид

(33) (34)

где

. (35)

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

- вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам (33) и (34);

- среднее число клиентов в очереди на обслуживание

(36)

- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на Обслуживание и в очереди)

(37)

- средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

(38)

- средняя продолжительность пребывания клиента в системе

(39)

Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательном у закону и равно сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

- вероятности состояний системы;

- среднее число заявок в очереди на обслуживание;

- среднее число находящихся в системе заявок;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

1. Определим параметр потока обслуживаний

2. Приведенная интенсивность потока заявок

при этом

Так как , то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

;

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание

6. Среднее число находящихся в системе заявок

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

суток.

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

суток.