Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия

Доказав существование конкурентного равновесия в математической модели рынка, ответим на вопрос: как найти конкурентное равновесие и, прежде всего, равновесные цены? Поиск равновесия, в отличие от ранее рассмотренных вопросов, по существу, является динамическим (развернутым во времени) действием.

Процесс последовательного приближения к равновесной цене называется регулированием цен. Кто и с какой целью регулирует цены? Ответ заключается в том, что, благодаря законам спроса и предложения, в условиях конкуренции рынок сам приспосабливает цены к вариациям спроса и предложения во времени. Ранее была обнаружена геометрическая картина такого приспособления. В данном случае задача состоит в обнаружении аналитической формулы регулирования для численного вычисления равновесных цен.

Итеративный процесс поиска равновесных цен должен обладать свойством сходимости, т.е., в конечном счете, должен привести к искомым ценам с любой предзаданной точностью. В этом случае процесс регулирования цен (или собственно конкурентное равновесие) называется устойчивым.

Таким образом, задача регулирования цен преследует цель определения условий, заставляющих цены, как функций времени, сходиться к равновесным значениям. Математически эта задача сводится к нахождению условий устойчивости решений специально построенных рекуррентных по времени уравнений. Такое уравнение называется динамической моделью регулирования цен. Эта модель может быть как непрерывной, так и дискретной. В первом случае, на основе предположения о непрерывном изменении цен, модель выражается с помощью дифференциальных уравнений. Во втором случае предполагается дискретный характер изменения цен, т.е. фиксируется изменение цен в отдельные моменты времени (или через определенные промежутки времени). Поэтому модель регулирования цен имеет вид разностных уравнений. Непрерывные модели предпочтительны в теоретическом плане. Их преимущество состоит в возможности применения удобного аппарата дифференцирования. В дальнейшем будем рассматривать только дискретный случай.

Для определенности процесс регулирования рассмотрим в модели Эрроу-Дебре. Предварительно уточним некоторые предпосылки и ряд дополнительных сведений.

Во-первых, цены будем снабжать параметром времени - цена k-го товара в момент t.

Во-вторых, будем предполагать дискретное изменение времени, т.е. будем рассматривать отдельные моменты времени Причем для упрощения формул будем считать, что Это дает возможность вместо последовательности рассматривать последовательность моментов начиная с

В-третьих, вместо пространства товаров будем рассматривать пространство , где дополнительная -ая координата соответствует особому виду товара - деньгам. Таким образом, размерность всех векторов спроса и предложения будет равна . Вектор цен, соответственно, будет задан в пространстве . Причем дополнительная -ая компонента будет интерпретироваться как цена денег.

Для некоторого вектора цен и соответствующих ему векторов совокупного спроса и совокупного предложения обозначим

(4.5.1)

Величина имеет смысл избыточного спроса при ценах p (противоположная величина имеет смысл избыточного предложения). Рассматривая эту величину для всех , можно говорить о функции избыточного спроса F , определенной на множестве P.

Для равновесного вектора цен имеем (см. (4.3.7), (4.3.8))

, (4.5.2)

(4.5.3)

Если предположить что все цены строго положительными, т.е. то равенство (4.5.3) будет иметь место только в случае строгого равенства в (4.5.2) , т.е.

(4.5.4)

Так как это равенство понимается покомпонентно , где - функция избыточного спроса для товара k), то условие (4.5.3) становится следствием равенства (4.5.4). Поэтому в случае положительных цен конкурентное равновесие определяется одним условием (4.5.4) .

Функция F обычно предполагается положительно однородной нулевой степени, т.е. для любых и постоянного числа Это свойство означает, что на функцию избыточного спроса изменение масштаба цен не влияет, а существенны лишь относительные цены.

Рассмотрение функции избыточного спроса связано с ее применением в модели регулирования цен. В основе построения искомой формулы итеративного процесса вычисления равновесных цен лежит идея о том, что скорость изменения цен пропорциональна изменению величины избыточного спроса. Действительно, возрастание (убывание) функции избыточного спроса во времени равносильно более быстрому (медленному) росту спроса по сравнению с предложением (см. (4.5.1)), а это, согласно закона спроса, сопровождается увеличением (уменьшением) цен товаров. Математически это можно выразить формулой

или в координатной форме

где - коэффициент пропорциональности, - функция избыточного спроса для товара k . Здесь предполагается, ради простоты, что пропорциональность изменения цены и избыточного спроса по всем товарам одинакова (и равна числу ).

Из последнего уравнения по определению производной (см. (2.2.3)) получаем:

Отсюда для достаточно малых можно принять приблизительно

Принимая величину как следующий за t момент времени, для дискретного случая мы приходим к следующему закону изменения цен:

или в векторной форме:

(4.5.5)

Получили рекуррентное уравнение, когда последующее (по времени) значение цены вычисляется с помощью предыдущего значения. Для его последовательного решения нужно иметь начальное условие. Им является значение цены в начальный момент времени , которое считается известным.

Для того чтобы в уравнении (4.5.5) было учтено условие положительности цен, можно написать

Таким образом, динамика процесса регулирования цен описана.

Процесс регулирования можно проводить в нормированных ценах или без нормирования цен. В первом случае вектор нормируется с помощью какого-то выделенного товара (например, нулевого), и получается новый вектор компоненты которого являются относительными ценами. В ненормированном процессе все товары являются равноправными. С математической точки зрения ненормированный процесс усложняется множественностью равновесных векторов цен, так как все точки луча будут равновесными векторами цен.

Устойчивость конкурентного равновесия, т.е. сходимость итеративного процесса (4.5.6) к равновесной цене, можно изучать на двух уровнях - на уровне локальной устойчивости и на уровне глобальной устойчивости. Равновесие называется локально устойчивым, если итеративный процесс сходится при начальной точке , достаточно близкой к . Если устойчивость имеет место независимо от местонахождения начальной точки , то равновесие глобально устойчиво.

Одним из условий сходимости процесса (4.5.6) является так называемая строгая валовая зависимость. Говорят, что для ненормированного процесса регулирования цен имеет место строгая валовая зависимость, если для каждого k функция избыточного спроса есть строго возрастающая функция цены Экономический смысл этого условия состоит в том, что при повышении цены -го товара и постоянстве других цен можно ожидать увеличения спроса на остальные (взаимозаменимые) товары.

Приведём без доказательства теорему сходимости для уравнения (4.5.6), которая предполагает ненормированный процесс регулирования и содержит критерий глобальной устойчивости.

Теорема 4.3.Пусть - строго положительный равновесный вектор в модели Эрроу-Дебре. Пусть функции избыточного спроса , , обладают свойством строгой валовой зависимости. Тогда существует такое положительное число , что для всех система цен , удовлетворяющая уравнению (4.5.6), сходится к равновесному вектору цен.