Модели и характеристики колебательных измерительных

Преобразователей

Динамические свойства большого количества ИП могут быть аппроксимированы дифференциальными уравнениями второго порядка. Модели таких ЭИП будем называть колебательными, несмотря на то, что процессы измерительного преобразования в их цепи могут протекать и апериодически. Функционально-временные свойства таких преобразователей позволяют в соответствии с определенными требованиями и выбранными входными и выходными сигналами использовать их в ограниченных частотных спектрах в качестве безынерционных, интегрирующих, дифференцирующих, дважды дифференцирующих или интегрирующих.

Рассмотрим колебательные модели ЭИП на частных примерах преобразователей с сосредоточенными постоянными параметрами, дифференциальные уравнения которых принимаем линейными относительно сигналов и их производных [13].

На рис. 6.7, а приведена схема механического ИП силы P или линейного ускорения в перемещение l подвижной (сейсмической) массы m относительно корпуса. Масса m выполнена в виде поршня, а корпус – в виде цилиндра, что позволяет обеспечить необходимое вязкостное торможение, определяемое коэффициентом k_д демпфирования. Масса m связана с цилиндром упругой связью в виде пружин, коэффициент жесткости которых k_ж. Дифференциальное уравнение модели преобразователя без учета составляющих сухого трения, возможной нагрузки и инерционности демпфера запишем, используя уравнения баланса сил

Сила может быть вызвана составляющей ускорения преобразователя в направлении оси чувствительности, т. е. .

Рис.6.7. Схемы колебательных ЭИП: а – механического;

б – магнитоэлектрического; в и г – электрических.

Таким же дифференциальным уравнением описывают свойства магнитоэлектрического гальванометра, осциллографа и т. п. (рис. 6.7, б), полученным на основе уравнения баланса моментов:

где J – момент инерции подвижной части; ψ – угол поворота рамки – выходной сигнал; i – электрический ток – входной сигнал; k_д, k_ж, k_э– коэффициенты моментов демпфирования, жесткости и электрической связи.

Пневматический ИП, используемый нередко в виде длинной входной трубки и камеры (рис. 6.1, а), обладает ощутимой инерционностью газа, которая в соответствии с принципом электропневматической аналогии может быть учтена пневматической индуктивностью .

Используя уравнение баланса давлений при их ограниченных изменениях, можно записать дифференциальные уравнения второго порядка, связывающие количество M газа по массе, давление p_к в камере, массовый расход G газа в трубке или перепад давлений Δp на трубке с давлением p(t) на входе трубки:

(6.35)

где – пневматическое сопротивление трубки с учетом индуктивности L_п.

На рис. 6.7, в приведена схема замещения пневматического ЭИП, которая одновременно является упрощенной схемой электрической цепи последовательно соединенных: резистора сопротивлением r, конденсатора емкостью C и индуктивности L. Используя уравнение баланса напряжений и пренебрегая утечкой конденсатора, активным сопротивлением и распределенной емкостью катушки индуктивности, для выходных сигналов в виде количества электричества , падение напряжения на конденсаторе, – на резисторе или – на индуктивности, а также для величины тока i цепи можно записать дифференциальные уравнения второго порядка, связывающие их входным напряжением :

(6.36)

Аналогичные дифференциальные уравнения второго порядка используют для определения токов i_L, i_r или i_C (рис. 6.7, г), протекающих через индуктивную, резистивную или емкостную ветви, а также напряжения U₁ на параллельно включенных резисторе сопротивлением r, конденсаторе емкостью C и индуктивности L для входного сигнала в виде суммарного тока i(t).

С целью обобщенного исследования моделей ЭИП полученные дифференциальные уравнения рационально привести к частотным или временным показателям. При входной величине x(t), отражающей силу, давление, ток или напряжение, и выходном сигнале y(t), отражающем линейное или угловое перемещение, напряжение, ток, давление, скорость или расход, можно записать обобщенные уравнения:

(6.37)

где – относительный коэффициент затухания (демпфирования, степень успокоения), определяющий потери энергии;

– собственная круговая частота колебаний (недепфированных) сигнала; Q – дифференциальная чувствительность модели преобразователя.

Операторные чувствительности определяют выражениями:

(6.38)

Комплексные чувствительности запишем в показательной форме:

(6.39)

где – безразмерная частота сигнала.

С целью сокращения определений в дальнейшем будем использовать термины "колебательная модель преобразователя вида , или ".

На рис. 6.8 приведены векторные диаграммы (кривые 1, 2 и 3 соответствуют уравнениям 1, 2 и 3 в выражении (6.39)) колебательных моделей преобразователей, по которым легко проследить их безынерционные, дифференцирующие и интегрирующие свойства.

Вместо коэффициента затухания иногда используют обратную величину – добротность преобразователя, а вместо собственной частоты – постоянную времени . Тогда уравнения (6.37) принимают вид:

(6.40)

Встречаются и другие формы записи этих уравнений.

Амплитудные чувствительности (амплитудно-частотные характеристики) колебательных моделей ИП с учетом уравнений (6.39) удобно анализировать в приведенной безразмерной форме:

(6.41)

В качестве аргумента, как и ранее, выбираем безразмерную частоту , характеризующую частоту входного сигнала в единицах, связанных с динамическими свойствами (6.37) преобразователя, а относительный коэффициент затухания принимаем за расчетный параметр.

Фазовую чувствительность (фазочастотную характеристику) запишем в приведенном обобщенном виде:

(6.42)

где начальная фаза принимает значения в соответствии с типом преобразователя.

На рис. 6.9 приведены амплитудные и фазовые чувствительности колебательных моделей измерительных преобразователей (семейства кривых 1, 2 и 3) для значений 0,3; 0,5; 0,6; 0,7 и 1,0. Резонансные частоты зависят от собственной частоты и коэффициента затухания. Например, для колебательной модели преобразователя вида – "фильтра нижних частот" (семейства кривых 1) – имеет место уменьшение резонансной частоты по отношению к собственной частоте :

(6.43)

а для модели преобразователя вида – "фильтра верхних частот" (семейства кривых 3) – резонансная частота оказывается выше:

(6.44)

Резонансная частота дифференцирующей модели преобразователя вида равна собственной.

В случае использования колебательной модели ИП вида в качестве безынерционной в нижней полосе частот, например, при выходном сигнале в форме линейного или углового перемещения, давления в глухой камере или напряжения на конденсаторе (семейство кривых 1 на рис. 6.9, а), относительные амплитудные погрешности для определяют выражением

(6.45)

При погрешности оказываются минимальными, но в ограниченной полосе частот. Так, при граничной частоте 0,5 погрешность достигает значений

Для расширения полосы частот при отсутствии существенных вредных возмущений коэффициент затухания рационально уменьшить до значений , при этом амплитудные погрешности на малых частотах будут положительными и для 0,65 достигнут максимального значения +0,025 при 0,4; а при 0,56 становятся отрицательными и достаточно быстро нарастают.

При 0,6 и 0,05 полоса граничных частот увеличивается до 0,84.

Д. А. Браславский [9] предлагает простой способ расчета оптимального значения коэффициента затухания по допустимой амплитудной погрешности из условия расширения полосы частот. При этом максимальное значение ординаты амплитудной характеристики, которая имеет место при резонансной частоте приравнивается допустимому значению :

откуда определяется оптимальное затухание

(6.46)

Рис.6.9. Амплитудные и фазовые чувствительности колебательных

моделей и измерительных преобразователей.

Подставляя в уравнение (6.41) для и приравнивая его допустимой ординате , рассчитывают граничную частоту .

В случае использования колебательной модели ИП вида в качестве безынерционной в полосе верхних частот (рис. 6.9, а, семейство кривых 3) относительные амплитудные погрешности для определяют соотношением

(6.47)

Минимальную проходную частоту обеспечивают выбором относительного коэффициента затухания в диапазоне . Так, при обеспечении получим . При задании допустимого значения амплитудной погрешности определяют граничную частоту выражением . Если =–0,05, то .

Для общего случая при граничную частоту определяют соотношением

(6.48)

При и = - 0,05 полоса частот расширяется до . Такие – преобразователи из-за существенной нелинейности амплитудной чувствительности в диапазоне нижних частот практически не пригодны для использования в качестве дифференцирующих.

В случае использования колебательных моделей ИП вида в качестве дифференцирующих в нижней полосе частот, например при выходном сигнале в форме массового расхода или скорости газа в трубке с накопительной камерой, электрического тока цепи rLC или скорости перемещения тела (рис. 6.9, а, семейство кривых 2), относительные амплитудные погрешности для определяется выражением

(6.49)

так как амплитудная чувствительность идеальной дифференцирующей модели преобразователя имеет вид .

При β=1; 0,707 и 0,5 выражение (6.49) принимает соответственно вид:

(6.50)

Начальная часть амплитудных погрешностей является линейной, и по существу вызывает изменение динамической чувствительности преобразователя в нижней полосе частот на постоянную величину, поэтому погрешность может быть учтена градуировкой преобразователя. Так, если выберем β=0,6, а заданную идеальную характеристику , то погрешность окажется значительно уменьшенной (η₂< 5%) при расширении полосы рабочих частот (вплоть до ):

(6.51)

При использовании модели преобразователей вида в полосе высших частот можно обеспечить удовлетворенное интегрирование входных сигналов по времени. Для β=0,707, и характеристики идеального интегратора вида погрешности модели преобразователя оцениваются выражением

(6.52)

В качестве интегрирующего можно использовать также и колебательный преобразователь вида при выборе затухания β>1. В случае применения такого преобразователя для защиты измерительных каналов от высокочастотных возмущающих воздействий необходимо обеспечить , откуда определяют оптимальные значения β иω₀.

Фазочастотные характеристики для колебательных моделей преобразователей различных видов (рис. 6.9, б) являются ниспадающими, т. е. при увеличении частоты входного сигнала за счет инерционности преобразователя имеет место фазовое запаздывание выходного сигнала. Начальная фаза φ₀ преобразователей соответствует безынерционному преобразованию φ₀ = 0, производной по времени входного сигнала и второй производной . При частоте входного сигнала фазовое запаздывание, не зависимо от значения коэффициента β затухания, для колебательных моделей преобразователей всех видов оказывается равным , а при фазовое запаздывание стремится к .

Форма фазочастотных характеристик существенно зависит от коэффициента β затухания. При β =0,65…0,707 в диапазоне частот эти характеристики могут быть аппроксимированы прямой. При уменьшении β частотный диапазон необходимо также уменьшить. Поэтому при сложном входном сигнале, содержащем гармонические составляющие только в указанном диапазоне, сдвиги этих составляющих по времени будут весьма близкими, что не приведет к существенным фазовым искажениям сигналов сложной формы. Амплитудные искажения могут быть скорректированы достаточно просто.

При входном сигнале вида "единичного скачка" динамические погрешности изучают, анализируя переходную чувствительность , где - установившееся значение выходного сигнала. Для колебательной модели преобразователя вида , используя выражение (6.38) или решая дифференциальное уравнение 1 системы (6.37), при различных коэффициентах β затухания получим:

(6.53)

(6.54)

(6.55)

где – частота свободных задемпфированных колебаний; – сдвиг по фазе.

Колебательные модели ИП вида или можно анализировать путем рассмотрения модели вида , последовательно к которой подключены идеальный дифференцирующий или дважды дифференцирующий преобразователи, т. е.

(6.56)

Соответственно определяют их переходные чувствительности и .

На рис. 6.10, а приведены кривые переходного процесса выходного сигнала модели вида . Погрешности определяют выражение . С целью сведения кривых в единое семейство, вне зависимости от собственной частоты в качестве аргумента используют безразмерное время . Тогда , и расчетным параметром является коэффициент β затухания. В зависимости от значения β выходной сигнал изменяется во времени в виде затухающих гармонических колебаний (6.49) или апериодически (6.55), случайβ=1 является критически переходным (6.53) при котором имеет место также апериодическое (второго рода) изменение во времени выходного сигнала. Время установления t_у сигнала при колебательном характере его изменения оказывается минимальным.

Если задано допустимое значение относительной погрешности η_д, то из условия минимальной длительности переходного процесса рассчитывают оптимальное значение коэффициента β_опт затухания. В соответствии с методикой Д. А. Браславского [9] оптимальное затухание определяют, приравнивая максимальное значение ординаты первого колебания, которое имеет место в момент, равный половине периода , допустимому значению ординаты:

откуда

(6.57)

Рис. 6.10. Характеристики переходного процесса

колебательной модели ИП.

Подставив в выражение (6.53) значение коэффициента β_опт затухания (6.57) и приравняв его ординате , определяют минимальное время установления сигнала. Кроме допустимой погрешности η_д, техническими условиями задается время установления , поэтому дальнейшее решение сводят к определению и конструкционному обеспечению расчетной собственной частоты преобразователя:

(6.58)

На рис. 6.10, б приведены графики зависимости времени установления выходного сигнала от коэффициента β затухания для допустимых значений погрешности: η_д=0,05 (кривая 1), η_д=0,02 (кривая 2) и η_д=0,01 (кривая 3). При существенном уменьшении допустимой погрешности время установления сильно увеличивается и в пределе достигает бесконечности. При β=0,8 и η_д=0,02 время установления оказывается близким к периоду недемпфированных колебаний: .