Колебательное звено

Колебательное звено. (0 < ξ < 1). Частотная передаточная функция

W (jω)= k/[(1 — T2 w2)+j2ξTω].

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции:

Фазовая частотная функция, как это видно из АФЧХ (рисунок 7.3, а), изменяется монотонно от 0 до — ли выражается формулой

.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика (рисунок 7.3, б) при ω → 0 асимптотически стремится к оси частот, а при ω→ ¥ — к прямой φ = -π. Ее можно построить с помощью шаблона. Но для этого необходимо иметь набор шаблонов, соответствующих различным значениям коэффициента демпфирования.

Амплитудная частотная функция

логарифмическая амплитудная функция

(7.10)

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид

где ω1 = 1/Т является сопрягающей частотой. Оно получается из уравнения (7.10), если под корнем при ω < ω1 оставить только единицу, а при ω ≥ ω1 слагаемое T4ω4. Асимптотическая ЛАЧХ (рисунок 7.3, б) при ω < ω1 параллельна оси частот, а при ω ≥ ω1 имеет наклон - 40 дБ/дек.

Следует иметь в виду, что асимптотическая ЛАЧХ (рисунок 7.3, б) при малых значениях коэффициента демпфирования довольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических (рисунок 7.3, г).

Решив дифференциальное уравнение (7.8) колебательного звена при g(t)=1(t) и нулевых начальных условиях [y(0)=0, px(0) = 0] найдем переходную функцию:

По переходной характеристике (рисунок 7.3, в) можно определить параметры колебательного звена следующим образом.

Рисунок 7.3 – Частотные, переходная характеристики колебательного звена и номограмма для построения превышения

Передаточный коэффициент k определяют по установившемуся значению h(¥) переходной функции.

Рисунок 7.4 – Частотные и переходная характеристики консервативного звена

Постоянную времени Т и коэффициент демпфирования ξ; можно найти из уравнений

где Tk — период колебании; A1 и А2 — амплитуды двух соседних колебаний относительно установившегося значения

К неминимально-фазовым звеньям относят также звено чистого запаздывания

с передаточной функцией W (s) = ke^-τs.

Частотная передаточная функция

W(jω) = ke-jτω = k(cosωτ – j sin ωτ).

Рисунок 8.2 - Частотные характеристики звена чистого запаздывания

Для остальных частотных и временных функции имеем:

U(ω) = k cos ωτ; V(ω) = -k sin ωτ; A(ω) = k;

φ(ω) = -ωτ; L(ω) = 20 lg k; h(t) = k1(1-τ); w(t) = k δ(t-τ).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рисунок 8.2, a) — окружность с центром в начале координат и радиусом k. Каждой точке этой характеристики соответствует бесконечное множество значений частот. ЛАЧХ (рисунок 8.2, б) совпадает с ЛАЧХ пропорционального звена с передаточной функцией k, ЛФЧХ (рисунок 8.2, б) — с графиком функции у = -τ10^x; (у = L(ω); x = lg ω).