Замечание о решении системы

Уравнения (18) имеют так называемую трехточечную структуру. Такие системы имеют следующий вид:

(23)

y₀=0, y_n=0 (24)

соответствует системе линейных уравнений с трехдиагональной матрицей Т для определения вектора неизвестных у =(у₁, у₂, …, у_п-1):

Ту=F,

где

(25)

При этом легко видеть, что в нашем случае

(26)

поскольку

(27)

решение таких систем эффективно решается с помощью методов прогонки.

Пример.

Для функции y=f(x)=3^x на отрезке [-1; 1] с узлами интерполяции
х₀=-1, х₁=0, х₂=1. Построить кубический сплайн.

Найти его значение при х=1/2 (т.е. приближенно ). Определить погрешность сплайна.

Решение. В данном случае имеем равномерную сетку с шагом h=1. на сетке одна внутренняя точка – х₁ и две граничные: х₀ и х₂. система (20) сводится к одному уравнению относительно коэффициента с₁, которое с учетом дополнительных соотношений (16), определяющих нулевые значения коэффициентов с₀ и с₂, принимает вид:

таким образом, с₀=0, с₁=2 и с₂=0. Остальные коэффициенты сплайна определим из формул (7), (21), (22): а₁=1, а₂=3, d₁=2, d₂=-2, b₁=4/3, b₂=7/3.

Теперь можно выписать кубические полиномы, определяющие сплайн:

Легко проверить, что построенная таким образом функция S(x) непрерывна вместе с первой и второй производной во внутренней узловой точке х=0.

Вычислим значение сплайна в точке х=1/2, т.е посчитаем приближенное значение :

Значительная погрешность обусловлена, прежде всего, большим шагом h=1. определенную роль играют условия (4):

(*).

Вторая производная рассматриваемой функции f(x)=3^x в точках х=±1 в ноль не обращается, т.е. условие (*) дает о ней искаженную информацию. Если при построении сплайна учесть истинные значения вторых производных в граничных точках, то точность аппроксимации улучшится.