Сравнение функций. Асимптотические равенства

Пусть и – бесконечно малые функции в точке .

Определение 1. Если = 0, то функцию называют бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с и пишут = o( ) при ® .

Пример 1. Сравнить бесконечно малые = и = sin в точке = 0.

Решение. Найдём = = 0 × 1 = 0. Поэтому = o(sin ) при ® 0.

Определение 2. Если = c ¹ 0, то и называют бесконечно малыми одного порядка малости и пишут = O( ) при ® . В частности, если = c ¹ 0, то говорят, что имеет k-й порядок малости по сравнению с при ® . Действительное число k называют порядком малости, а сравнивают чаще всего с функцией = – . Например, бесконечно малая в нуле функция = имеет четвертый порядок малости по сравнению с = . Действительно,

= = 3.

Определение 3. Если = 1, и называются эквивалентными, или асимптотически равными бесконечно малыми в точке . Пишут ~ при ® 0. Например, = 1 Þ sin ~ при ® 0.

Пример 2. Доказать, что arcsin ~ при ® 0.

Решение. = = = 1. Что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать, что ln (1 + ) ~ при ® 0.

Решение. = = =

= = = = 1Þ ln (1 + ) ~ .

Заметим, что мы доказали третье равенство §6, приведённое в том параграфе без доказательства.

Можно доказать следующие свойства эквивалентных бесконечно малых в некоторой точке :

1) если ~ , то ~ ;

2) если ~ , а ~ , то ~ ;

3) если ~ , то = + o( );

4) если = + o( ), то ~ .

Определение 4. Если = + o , A ¹ 0, > 0, то выражение называется главной степенной частью бесконечно малой функции в точке = .

Пример 4. Выделить главную степенную часть бесконечно малых функций = ,

= в точке = 0.

Решение.Очевидно, ~ ~ ,

~ ~ , поэтому = + o ( ), = + o ( ). Главные степенные части: и .

Теорема. Если ~ , ~ при ® и существует, то = .

Доказательство.

= = × × =

= . Теорема доказана.

Теоремой часто пользуются при нахождении пределов функции.

Пример 5. Найти .

Решение. Воспользуемся теоремой и результатом примера 4.

= = 2.

Замечание. Аналогично сравниваются и бесконечно большие функции в некоторой точке.