Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции

 

1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Теоретические основы - теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [a,b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

 

1.1. Функция монотонна на отрезке [a,b].

 

Если функция возрастает на отрезке [a,b], то своё наибольшее значение она принимает на правом конце отрезка, а наименьшее – на левом.

(запись у Мордковича).

 

Если функция убывает на отрезке [a,b], то своё наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее – на левом.

Следует подчеркнуть существенность непрерывности функции на отрезке.

Приведём контрпример: нарушено условие непрерывности функции на отрезке [a,b]

 

 

 

1.2. Функция не монотонна на отрезке [a,b].

В этом случае она принимает своё наибольшее или наименьшее значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка [a,b].

 

Алгоритмнахождении наибольшего и наименьшего значений функции

на отрезке [a,b].

 

 

1. Найти стационарные и критические точки функции.

2. Отобрать из них точки, принадлежащие отрезку[a,b].

3. Вычислить значения функции в этих точках.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка [a,b].

5. Выбрать из значений, полученных в п. 3 и 4 наибольшее и наименьшее.

6. Записать ответ.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на промежутке Х (отрезке, интервале, луче . . . ) и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку , то

а) если - точка максимума, то в этой точке функция принимает наибольшее значение на промежутке Х;

б) если - точка минимума, то в этой точке функция принимает наименьшее значение на промежутке Х;

Примеры.

№ 1. Правило 1.

Найдите наименьшее значение функции на отрезке . Ответ: унаим.=у(5p/6)= 3/2.

№ 2. Правило 2.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

- стационарные точки.

Ответ: унаиб.=у(2)= 20. унаим..=у(1)= -17.

 

№ 3. Правило 3.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Ответ: унаиб.=у(0)= 3.

№ 4. Правило 3.

Найдите наибольшее значение функции у = 2 х 2 - 13х +9ln x + 8 на отрезке .

. 1 – cтационарная точка.

Производная меняет знак с «+» на «-» – точка максимума.

 

Ответ: унаиб.=у(1)= -3.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Согласованная и несогласованная ориентация. | Общие представления о спектрометрических методах


Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1020; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.008 сек.