Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции
1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Теоретические основы - теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [a,b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.
1.1. Функция монотонна на отрезке [a,b].
Если функция возрастает на отрезке [a,b], то своё наибольшее значение она принимает на правом конце отрезка, а наименьшее – на левом.
(запись у Мордковича).
Если функция убывает на отрезке [a,b], то своё наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее – на левом.
Следует подчеркнуть существенность непрерывности функции на отрезке.
Приведём контрпример: нарушено условие непрерывности функции на отрезке [a,b]
1.2. Функция не монотонна на отрезке [a,b].
В этом случае она принимает своё наибольшее или наименьшее значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка [a,b].
Алгоритмнахождении наибольшего и наименьшего значений функции
на отрезке [a,b].
1. Найти стационарные и критические точки функции.
2. Отобрать из них точки, принадлежащие отрезку[a,b].
3. Вычислить значения функции в этих точках.
4. Вычислить значения функции на концах отрезка [a,b].
5. Выбрать из значений, полученных в п. 3 и 4 наибольшее и наименьшее.
6. Записать ответ.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на промежутке Х (отрезке, интервале, луче . . . ) и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку , то
а) если - точка максимума, то в этой точке функция принимает наибольшее значение на промежутке Х;
б) если - точка минимума, то в этой точке функция принимает наименьшее значение на промежутке Х;
Примеры.
№ 1. Правило 1.
Найдите наименьшее значение функции на отрезке . Ответ: унаим.=у(5p/6)= 3/2.
№ 2. Правило 2.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
- стационарные точки.
Ответ: унаиб.=у(2)= 20. унаим..=у(1)= -17.
№ 3. Правило 3.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Ответ: унаиб.=у(0)= 3.
№ 4. Правило 3.
Найдите наибольшее значение функции у = 2 х 2 - 13х +9ln x + 8 на отрезке .
. 1 – cтационарная точка.
Производная меняет знак с «+» на «-» – точка максимума.
Ответ: унаиб.=у(1)= -3.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Согласованная и несогласованная ориентация. | | | Общие представления о спектрометрических методах |
Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1792;