Критерий устойчивости Гурвица

Этот критерий был сформулирован в 1895 году математиком А. Гурвицем.

Для характеристического уравнения (7.16) составим квадратную матрицу коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов:

(7.22)

Эта матрица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов записывают все коэффициенты по порядку от до . Каждая строка дополняется коэффициентами с нарастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия коэффициента, а также, если индекс его должен быть меньше нуля или больше n, на соответствующем месте в матрице (7.22) пишут нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все n определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Обозначим определители Гурвица символами

Индексы определителей Гурвица указывают их порядок, а также индекс диагонального коэффициента матрицы (7.22), который занимает место в правом нижнем углу соответствующего определителя Гурвица.

Условия устойчивости по критерию Гурвица записываются в виде:

; ….;

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последнее неравенство запишем в виде:

Так как предыдущее неравенство имеет вид то условие положительности определителя , сводится к условию

Таким образом, критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при определители Гурвица были положительными.

Необходимые, но недостаточные, условия устойчивости заключаются в том, что в случае уравнения n-го порядка все коэффициенты должны быть положительны и ни один из них не должен равняться нулю.

Принцип аргумента

Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени с действительными коэффициентами:

Если через обозначить корни этого уравнения, то многочлен можно представить в виде произведения простых сомножителей:

На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат к точке ( где - вещественная часть корня , а - мнимая (рис. 7.1 а).

Если положить в то

(7.23)

Изобразим на комплексной плоскости элементарный вектор (рис. 7.1 б). Этот вектор является разностью двух векторов: вектора и вектора Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси в точке , а начала – в точках с координатами . При изменении w от 0 до ¥ концы векторов скользят по мнимой оси, а векторы при этом поворачиваются. Направление вращения вектора против часовой стрелки с ростом принимают за положительное. Если начало вектора лежит в левой части комплексной плоскости (вещественная часть корня l_i отрицательная), то при изменении w от 0 до ¥ вектор вращается в положительную сторону и изменение его аргумента

Для всех корней

Начальные значения аргументов векторов различны в зависимости от четырёх возможных вариантов расположения корней на комплексной плоскости (рис. 7.2). Найдем изменение аргумента элементарных векторов при изменении w от 0 до для приведённых на рис.7.2 вариантов расположения корней.

Вариант 1. Вещественный корень в левой части КП.

Вариант 2. Вещественный корень в правой части КП.

Вариант 3. Пара комплексно-сопряженных корней в левой части КП.

Векторы и запишем в показательной форме:

где

В выражении для полинома векторы и являются сомножителями. Запишем формулу для произведения векторов и :

Найдем изменение аргумента произведения векторов и при изменении w от 0 до :

Вариант 4. Пара комплексно-сопряженных корней в правой части КП.

По аналогии вариантом 3 найдем изменение аргумента произведения векторов и при изменении w от 0 до :

Запишем выражение для вектора (см. (7.23)).

Аргумент (или фаза) вектора равен сумме аргументов элементарных векторов:

Предположим, что уравнение =0 имеет m корней в правой части КП и, следовательно, n-m корней в левой части КП. Пусть при этом q правых корней и r левых корней – вещественные. Тогда в правой части КП количество пар комплексно-сопряженных корней будет равно (m-q)/2 а в левой (n-m-r)/2 При возрастании w от 0 до изменение аргумента вектора или угол поворота будет