Развитие математики в Киевской Руси

1. Историческая справка

Киевская Русь (термин введён в XIX в.) возникла на торговом пути «из варяг в греки» на землях восточнославянских племен (ильменские словены, кривичи, поляне), позднее были подчинены древляне, дреговичи, полочане, радимичи, северяне и вятичи.

Историки выделяют следующие временные периоды образования и развития Руси:

I период: древние славяне, народ русь (до IX в.);

II период: древнерусское государство(IX-XIII вв.) (домонгольский период):

· Новгородская Русь (IX в.),

· Киевская Русь (X в. - 1139 г.) (распад),

III период: Удельная Русь (XII-XVI вв.) (объединение),

· Новгородская республика (1136-1478),

· Владимирское княжество (1158-1389),

· княжество Литовское и Русское (1236-1795),

· Московское княжество (1236-1547),

· Русское княжество (1547-1721),

IV период: Российская империя (1721-1917),

V период: советский период:

· Российская республика (1917),

· Советская Россия (1917-1922),

· Советский Союз (1922-1991),

VI период: Российская федерация (с 1991).

История Руси изучалась и изучается многими исследователями, причём в её изложении существуют серьёзнейшие разногласия, часто в зависимости от национальной принадлежности учёного. Рассмотрим первые два периода зарождения и становления Руси.

Славяне раннего Средневековья исторически уже были разделены на 3 основные племенные образования - венеды, склавины и анты (по византийским источникам), но в рассматриваемый I период (до IX в.) происходит географическое и частично культурное обособление друг от друга западных, восточных и южных славян (по современной классификации). Тогда же начинается становление славянских народностей и государств с их участием. Если история западных и восточных племён восстанавливается по археологическим данным, история южан хорошо задокументирована в свидетельствах византийских авторов.

На рубеже VIII – IX вв. у восточных славян идет процесс формирования древнерусской народности. В результате объединения их племен на территории от Таманского полуострова на юге, Днестра и верховьев Вислы на западе до верховьев северной Двины на севере возникла Киевская Русь. О её истории мы узнаем из древнерусских летописей, в частности из "Повести временных лет,в которой летописец Несторподробно рассказывает о славянских племенах, местах их обитания, первых правителях.

В историографии существуют 2 теории происхождения русского народа: норманская и антинорманская.

Норманская теория - направление в историографии, развивающее концепцию того, что народ-племя русь происходит из Скандинавии периода экспансии викингов (варягов), которых в Западной Европе называли норманнами.

По мнению летописца Нестора, само слово "русь" имеет скандинавские корни и тесно связано с приходом в Древнерусское государство варяжских князей и их племени (862 г.). Эта концепция в XVIII веке была поддержана историками Г.-Ф. МиллеромиВ.Н. Татищевым, но отвергнута М.В. Ломоносовым. Ломоносов связывал термин "Русь" с названием реки Рось, являвшейся южной границей первоначального расселения славянских племен, и с роксоланами -«рыжие или русые (светлые) аланы» - кочевавшими на территориях от Дуная до Волги (II в. до н.э. - V н.э.).

Так возникла другая теория – антинорманская, отвергающая и опровергающая норманскую. Её сторонники акцентируют внимание на формировании государственности у славян задолго до призвания Рюрика.

Рюрик (ум. 879) - летописный основатель государственности Руси, варяг, князь новгородский с 862 года и родоначальник княжеской, ставшей впоследствии царской, династии Рюриковичей. По антинорманской версии, Рюрик - представитель княжеского рода ободритов, а его имя - это славянское родовое прозвище (рарог – сокол). Последователи М.В. Ломоносова (О.Н. Трубачёв, Д.И. Иловийский, А.Н. Носов и др.) в своих доводах опираются на то, что ко времени призвания Рюрика на правление во главе славянских союзов племен стояли князья, опиравшиеся в вопросах управления и военных походов на дружину, а все важные вопросы реша­лись на собрании племени – вече, т.е. признаки государственности у восточных славян уже сложились.

Противостояние сторонников норманской и антинорманской теории, пожалуй, одно из самых долгих в истории. Можно говорить о том, что его длительность на данный момент составляет около 500 лет.

Ко II периоду (IX-XIII вв.) относится возникновение и развитие Новгородского и Киевского государственных образований. В Новгородской, Софийской, Никоновской и ряде других летописей есть известие о приходе славян с Дуная к озеру Ильмерю (Ильменю) и об основании ими Новгорода, в котором они посадили Гостомысла. В Воскресенской летописи сообщается о приходе славян с Дуная к Ладожскому озеру, а оттуда к Ильменю, после чего они стали называться русью, поскольку поселились возле реки Русы, впадавшей в Ильмень. Они построили Новгород, где стал править старейшина Гостомысл.

ВИоакимовской летописи (в изложении В.Н. Татищева) говорится, что Гостомысл происходил из древнего княжеского славянского рода, восходившего к легендарным предводителям славян Славену, Вандалу и Владимиру. Отцом Гостомысла был Буривой, воевавший с варягами в Прибалтике. Вытесненный варягами из родной земли, Буривой вместе с родичами и подвластными князьями пребывал на острове в городе Бярмы. Варяги захватили Великий град и обложили тяжкой данью славян, русь и чудь. Жители Великого града обратились к Буривою с просьбой прислать им своего сына Гостомысла, который, придя в Великий град, захватил там власть, одних варягов перебил, других изгнал и отказался выплачивать дань захватчикам. Он заключил с ними мирное соглашение, после чего "бысть тишина по всей земли". Гостомысл же построил возле моря город, назвав его в честь своего старшего сына Выбора.

Русские летописи дают разные версии возникновения Новгорода. По «Повести временных лет» (Лаврентьевский список) город существовал уже к моменту прихода Рюрика в 862 году и был основан ильменскими словенами в ходе их расселения после миграции с Дуная. По Ипатьевской летописи: «Словене же седоша около езера Илмера и прозвашася своимъ именемъ и сделаша городъ и нарекоша и Новъгородъ». Официальной датой возникновения Новгорода принято считать 859 год (год кончины Гостомысла).

Летописные сведения о Новгороде Х - XI веков очень скупы, но они представляют большую ценность:

· В летописи под 882 годом говорится о походе князя Олега из Новгорода на Киев, в результате которого были объединены два крупных восточнославянских племени: ильменских славян и полян, откуда началась история великого Древнерусского государства.

· В летописи под 912 годом содержится сведение о том, что Новгород платил скандинавам (варягам) 300 гривен в год "мира деля " то есть во имя поддержания мира с этим небезопасным народом.

· В 947 году княгиня Ольга установила порядок сбора дани с новгородской земли.

· Византийский император Константин VII в X веке писал о руссах, приплывающих из Новгорода в Константинополь на своих ладьях.

· Новгород фигурирует под названием Холмоград в скандинавских сагах, относящихся к временам княжения в нём Владимира Святославича(910 г.).

Летопись гласит, что когда знаменитый киевский князь Святославпосадил своих сыновей Ярополка (в Киев) и Олега (в Волынь) князьями в крупных землях своего государства, то к нему пришли новгородцы, заявив, что если Святослав не подыщет им князя, то они его сами найдут. Великий князь им ответил "Да кто ж к вам пойдёт» и действительно оба старших сына Святослава отказались. Небольшой северный город, по-видимому, не представлял для них интереса. Тогда новгородцы попросили у Святослава младшего сына, Владимира. Владимир согласился и княжил в Новгороде с 980 по 988 г. После гибели Святослава между его сыновьями разгорелась острейшая борьба за власть. Великим киевским князем стал сначала Ярополк (977 г.), а потом Владимир, пославший в Новгород на княжение своего сына Вышеслава, а после его смерти - Ярослава, с именем которого была связана первая попытка отделить Новгород от Киевской зависимости.

В летописи от 1014 года сообщается об отказе Ярослава платить дань Киеву. Узнав, что сын не собирается платить дань, Владимир стал собирать дружину, но в разгар подготовки неожиданно скончался. Престол занял Святополк Окаянный(Окаиненный – от слова Каин), который убил трёх своих братьев (Бориса и Глеба, причисленных впоследствии к лику святых, а также СвятославаДревлянского). Ярослав хотел княжить в Киеве и призвал на помощь новгородцев, чтобы Киеву дани не давать. Новгородцы согласились, и спустя некоторое время Ярослав в битве наголову разбил Святополка, который бежал в Польшу.

Однако в 1018году Святополк вернулся на Русь с дружиной своего тестя - Польского короля Болеслава и смог разбить Ярослава основательно (тот бежал с поля боя всего с четырьмя дружинниками). Ярославхотел бежать в Скандинавию, но новгородцы этого не допустили: порубили ладьи Ярослава, собрали деньги, создали новое войско и дали возможность князю продолжить борьбу. В то время Святополк, уверенный в том, что крепко сидит на престоле, поссорился с Польшей и, лишенный поддержки, потерпел поражение. После этого Ярослав отпустил новгородцев домой и дал им особые грамоты - "Устав" и "Правду", согласно которым новгородцы должны были жить. В последующие десятилетия Новгород также зависел от киевских князей.

Истории Новгородского и Киевского княжеств очень тесно переплетались исторически, поэтому государство и названо «древнерусским». Считается, что славянское поселение на месте Киева возникло в конце V века, что фиксируется находками византийских монет того времени, однако, городская жизнь и наличие укреплений («града») уверенно фиксируются археологами лишь с VIII века.Достоверных сведений, когда сложилось Киевское княжество, нет. Арабские источники Х века сообщают, основываясь, очевидно, на источнике более раннего времени, что у руссов есть 3 государства, одно из которых имеет столицей большой город Куяву.

Летопись передает об образовании Киевского княжества ряд легенд, в которых будто Киев был основан Кием с братьями. Вот перевод летописи, сделанный академиком Д. Лихачёвым:

«Поляне же жили в те времена отдельно и управлялись своими родами; ибо и до той братии (о которой речь в дальнейшем) были уже поляне, и жили они все своими родами на своих местах, и каждый управлялся самостоятельно. И были три брата: один по имени Кий, другой - Щек и третий - Хорив, а сестра их - Лыбедь. Сидел Кий на горе, где ныне подъем Боричев, а Щек сидел на горе, которая ныне зовется Щековица, а Хорив на третьей горе, которая прозвалась по имени его Хоривицей. И построили город в честь старшего своего брата, и назвали его Киев. Был вокруг города лес и бор велик, и ловили там зверей, а были те мужи мудры и смыслены, и назывались они полянами, от них поляне и доныне в Киеве.

В 862 году варяги, дружинники Рюрика Аскольд и Дир, подчинили себе Киев и княжили там до 879 года (смерть Рюрика в Новгороде). После этого княжение было передано Олегу, регенту при малолетнем сыне Рюрика Игоре. Из огромного числа великих князей можно выделить тех, кто оставил глубокий след в истории Руси (в скобках – годы правления):

• варяги Аскольд и Дир, князья Киевские (не позднее 860-882),
• Олег Вещий (882-912) - получил власть над Новгородом после смерти Рюрика как опекун над его малолетним сыном Игорем, присоединил к Новгородской Руси Киев, перенёс туда столицу, покорил и присоединил много восточных славянских племен. Нередко рассматривается как основатель Древнерусского государства. В летописи «Повесть временных лет» назван Вещим (провидящий будущее) по возвращении из похода на Византию (907 г.).
• Игорь Рюрикович (912-945) - согласно летописной традиции - сын Рюрика. По данным летописи князь Игорь считался не слишком деятельным и отважным полководцем. «Повесть временных лет» отмечает алчность и жадность Игоря, неудачные военные походы на Византию и древлян. Древляне справедливо рассудили: "Если повадится волк к овцам, то вынесет все стадо, пока не убьют его; так и этот: если не убьем его, то всех нас погубит". Они перебили всех дружинников и убили самого князя Игоря. По словам Иоанна Цимисхия “он был взят ими в плен, привязан к стволам деревьев и разорван надвое”.
• Ольга (945-957), - жена Игоря, мать Святослава, первая из русских правителей приняла христианство (955 г., Константинополь) ещё до крещения Руси, впоследствии первая русская святая: «Была она предвозвестницей христианской земле, как денница перед солнцем, как заря перед рассветом. Она ведь сияла, как луна в ночи; так и она светилась среди язычников, как жемчуг в грязи». Покорение Древлянской земли и Волыни во времена её правления открыло перед Киевом перспективы контроля важных международних торговых путей. Княгиня Ольга положила начало каменному градостроительству на Руси (первые каменные здания Киева - городской дворец и загородный терем Ольги), со вниманием относилась к благоустройству подвластных Киеву земель - новгородских, псковских, расположенных вдоль реки Десна и др.
• Святослав Игоревич (957-972), князь новгородский (945-969 г.), прославился как полководец. Русский историк Н. М. Карамзин назвал его «Александром (Македонским) нашей древней истории». Летописи сообщают, что «в 965 г. пошёл Святослав на хазар. Услышав же, хазары вышли навстречу ему со своим князем каганом, и сошлись биться, и в битве одолел Святослав хазар, и столицу их и Белую Вежу взял». Кроме того, были успешными и его походы в Тмутаракань (Тамань, 965 г.), Волжскую Булгарию (968 г.) и на Хазарский каганат (966 г.), завоевал Болгарское царство (968-969 гг.) При возвращении из похода на Болгарию Святослав был убит печенегами в 972 году на днепровских порогах. «Когда наступила весна, отправился Святослав к порогам. И напал на него Куря, князь печенежский, и убили Святослава, и взяли голову его, и сделали чашу из черепа, оковав его, и пили из него. Свенельд же пришел в Киев к Ярополку». Святослав, посадив на княжение в Новгород, Киев и Ростов своих сыновей, способствовал объединению княжеств в одно сильное государство.
• Ярополк Святославич (972-978), сын Святослава, посаженный им на княжение в Киеве. Правление Ярополка - время дипломатических контактов с германским императором Оттоном II, с Византией и Римом, чеканка первых найденных историками собственных монет Киевской Руси, напоминающих арабские дирхемы — так называемые «псевдодирхемы Ярополка» (известно чуть более 10 экземпляров). Никоновская летопись даёт ему такую характеристику: «Ярополк же был муж кроткий и милостивый ко всем, любящий христиан, и хотя сам не крестился народа ради, но никому не запрещал… Ярополк нелюбим у людей, потому что христианам дал волю великую».
• Владимир Святославич (Святой, Креститель, Красное Солнышко) (978-1015), самый неоднозначный из великих князей. Княжил в Новгороде с 970 г., обманом и братоубийством захватил киевский престол (978 г.), был рьяным язычником и грешником. Летописное повествование о «выборе вер» Владимиром носит легендарный характер. Ко двору вызывались проповедники ислама, иудаизма, западного «латинского» христианства, но Владимир после беседы с «греческим философом» остановился на православии и выбрал христианство в качестве государственной религии Киевской Руси (988 г.). После крещения Владимир разительно переменился, все законы принимал при согласовании со своим советом, который состоял из его дружины (военных начальников) и старейшин, представителей разных городов. Времена Владимира ознаменованы началом распространения грамотности на Руси — что связано с Крещением. Как и многие другие прогрессивные реформы в земле Русской, проводилась она насильственно: «Посылал он собирать у лучших людей детей и отдавать их в обучение книжное. Матери же детей этих плакали о них; ибо не утвердились ещё они в вере и плакали о них как о мёртвых». Учителями выступали византийцы и болгары, в том числе учившиеся на Афоне. Через поколение на Руси выросли уже замечательные мастера слова и знатоки литературы, такие, как один из первых русских писателей митрополит Иларион.При Владимире начинается масштабное каменное строительство на Руси, заложены города Владимир-на-Клязьме (990 г.), Белгород (991 г.), Переяславль (992 г.) и многие другие. Киевлян Владимир щедро угощал на пирах каждое воскресенье, даже, по преданию, приказал развозить на телегах еду и питьё для немощных и больных.
• Святополк Окаянный (1015-1019) - рождён гречанкой, вдовой Ярополка, погибшего в междоусобной войне с братом, князем Владимиром и взятой им в наложницы («Повесть временных лет»). Летописец называет Святополка сыном двух отцов («от двою отцю») и замечает с намёком на дальнейшую судьбу князя: «от греховного плод злой бывает». Незадолго до смерти Владимира Святополк с семьей находился в Киеве в заключении; Причина ареста - по-видимому, план Владимира завещать престол своему любимому сыну Борису; примечательно, что и другой старший сын Владимира, новгородский князь Ярослав также около этого времени восстал против отца. После кончины Владимира 15 июля 1015 года Святополк оказался ближе всех других братьев к Киеву, вышел на свободу и без особых затруднений вступил на престол; его поддержал и народ, и бояре, составлявшие его окружение в Вышгороде под Киевом. Стремясь утвердиться на престоле в Киеве, Святополк успел выпустить сребреники (известно 50 таких монет), похожие на сребреники Владимира. На лицевой стороне изображение князя с круговой надписью: «Святополк на столе [престоле]». На обратной стороне: княжеский знак в виде двузубца, левый конец которого завершается крестом, и надпись: «А се его серебро». В течение того же года были убиты три сводных брата Святополка - Борис, муромский князь Глеб и древлянский Святослав. «Повесть временных лет» обвиняет Святополка в организации этих убийств (Борис и Глеб – первые русские святые). Согласно летописи, Святополк послал вышгородских мужей убить Бориса, узнав же, что брат ещё жив, велел варягам добить его. Глеба он, согласно летописи, призвал именем отца в Киев и послал людей убить его по дороге. Святослав погиб, пытаясь бежать от убийц в Венгрию. Существуют и другие теории на этот счёт.
• Ярослав Мудрый (1019-1054) - сын крестителя Руси князя Владимира Святославича (из рода Рюриковичей). Существуют предания, которые приписывают ему основание города Ярославля. Согласно одному из них Ярослав путешествовал по Волге из Новгорода в Ростов. По легенде по дороге на него напал медведь, которого Ярослав с помощью свиты зарубил секирой. После этого князь приказал срубить на неприступном мысу над Волгой небольшую деревянную крепость, названную по его имени — Ярославль. Ярослав совершил много походов, расширил границы Руси, заложил город Юрьев, основал первые русские монастыри (в 1030 г. - Юрьев монастырь в Новгороде и Киево-Печерский монастырь в Киеве), издал Церковный устав и «Русскую правду» - свод законов древнерусского феодального права. Развернулась интенсивная работа по переводу византийских и иных книг на церковнославянский и древнерусский языки. Огромные средства тратились на переписку книг. В 1028 году в Новгороде была основана первая большая школа, в которой были собраны около 300 детей священников и старост. При нём появились монеты с надписью «Ярославле серебро». На одной её стороне был изображен Иисус Христос, на другой - Георгий Победоносец, покровитель Ярослава.

2. Основные источники математических знаний

Источниками являются:

· письменные произведения математического содержания,

· произведения, содержащие такие сведения,

· различные памятники древнерусского зодчества, ремесла и народного творчества.

Самым древним прямым источником математических знаний Киевской Руси является сочинение монаха Кирика «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1134 г. - К.И. Швецов; 1136 г. - Википедия).

О Кирике известно не много. Различные источники дают разные даты его жизни (1110 ≈ 1156/1158). Википедия сообщает, что согласно автобиографической приписке к «Учению о числах» на момент завершения труда в 1136 г. автору было 26 лет: «Рождения моего до сюда бяше лет 26, а месяцев 312, а недель 1300, а дней 9500, без три дни…». Кирик получил подготовку в стенах Антониева монастыря, основанного в 1106 г. Антонием, «уроженцем Рима» (ум. 1147 г.), которого историки относят к числу ирландских монахов, рассеяных по Европе.

Там же сообщается, что автор являлся монахом того же Антониева монастыря в Новгороде, где совмещал обязанности дьякона и доместика (то есть руководителя церковного хора при монастырской церкви Рождества Богородицы). Кроме того, Кирик был близок ко двору новгородского епископа Нифонта и участвовал в написании первой новгородской летописи.

Перу Кирика, предположительно, принадлежит ещё одно сочинение «Вопрошание Кириково» (≈1147), не представляющее интереса для рассматриваемой темы.

Из общих письменных источников, которые могут помочь в выявлении первых математических знаний русов, выделяется так называемая «Русская Правда» (1019-1054 гг.) - памятник древнерусского права («Правда Ярослава» основана на устном законе и обычном праве Руси).

Кроме того, могут быть полезны древнерусские памятники духовного содержания:

· «Книга святых тайн Еноха» известна с XIII века;

· «Христианская топография» Козьмы Индикоплова написана ≈557-549 гг., время славянского перевода неизвестно, но появился он в период с X-XIII вв., став одним из источников компиляции «Толковая палея», известной в Киевской Руси в XI-XII вв.;

· «Шестоднев» Иоанна-экзарха (≈ XIII в.) – тоже компиляция трудов болгарских представителей церкви (X в.) и части трудов Аристотеля.

Памятники архитектуры, ремёсла, предметы народного искусства тоже могут служить источниками некоторых сведений о математических знаниях наших предков.

3. Анализ сочинения Кирика

«Учение им же ведати человеку числа всех лет» - оригинальный математический и астрономический трактат, посвященный проблемам летоисчисления. Исследователи считают, что Кирик изложил в своем трактате систему вычисления Пасхи и основы теории календарного счета. Не ограничиваясь «математической» стороной дела, он изучает само понятие времени, его «протяженности» и цикличности. Сочинение Кирика показывает высокий уровень математических знаний в Древней Руси.

Сравнение с содержанием западно-европейских средневековых источников показывает, что сумма заключённых в «Учении о числах» астрономических, математических и календарных знаний, с учётом профессиональных занятий Кирика церковными песнопениями, представляет классический квадривиум, который в средневековье соответствовал высшей образовательной подготовке. Т.к. Кирик – воспитанник древнерусского монастыря, то можно сделать вывод, что образовательный уровень Киевской Руси соответствовал уровню византийских и лучших западноевропейских вычислителей, даже превосходя их в некоторых вопросах.

Он владел всеми четырьмя арифметическими действиями с именованными числами, знал действия с дробными числами и имел представление о геометрической прогрессии. Интересно, что предложенное им (возможно заимствованное у более древних русских книжников) деление часа на дробные доли, которое приводит к геометрической прогрессии со знаменателем 5, значительно удобнее деления часа, принятого в Западной Европе даже в более позднее время.

Цель создания «Учения о числах» исследователи определяют по-разному. Трактат рассматривали:

ü как «учебник» для интересующихся летосчислением,

ü факультативное пособие для составителей Пасхальных таблиц,

ü как «диссертацию» молодого учёного,

ü как написанное «единственно для бесцельного обнаружения учёности» (историк церкви Евгений Голубинский).

Наш историк математики В.П. Зубов предложил иное объяснение, считая. что такое деление часа необходимо было именно для вычислений, основанных на метоновом цикле: 19С=253Л (С- солнечный год, Л – лунный месяц). Метонов цикл (433 г. до н.э., грек Метон) – промежуток времени в 6940 суток, служащий для согласования лунного месяца с солнечным годом в лунно-солнечном календаре.

Высокий уровень научных знаний на Руси позволил Кирику Новгородцу свободно оперировать:

· понятием цикличности времени,

· сложными дробями,

· арифметическими суммами в пределах от 1/5 в 7-ой степени до десятков миллионов.

Он даёт сведения о сопряжении лунного и солнечного календарей:

«В одном году 12 календарных месяцев, а небесных лунных месяцев 12 и 11 дней 13-й луны. И из этих дней на четвёртый год получается 13-я луна; в месяце насчитывается 4 недели, от году до году проходит 13 лунных месяцев и один день… В одном году 52 недели и 1 день, называемый индиктой, и 6 часов. Эти 6 часов через 4 года дают 1 день, называемый високосным».

Он выделяет мельчайшую единицу времени (библейская «точка времени»), которую обозначает словом «часец»:

«А седьмых дробных часиков в одном дне 937 500, столько же и в ночи. Больше же этого не бывает, то есть от седьмых дробных ничего не получается».

Считается, что Кирик точнее всех средневековых математиков приблизился к вычислению отрезка времени, который человеческий мозг воспринимает как «настоящее». Это связано, как полагают, с его музыкальной деятельностью.

Особое место занимает раздел о «поновлениях», в котором содержатся сведения о циклах обновления неба, земли, моря и воды. Таким образом, в трактате Кирика циклизм из области хронологии переносится в сферу натурфилософского толкования бытия. Автор выходит за рамки строгого христианского толкования, обнаруживая склонность к восприятию античного, возможно пифагорейского, наследия.

4. Математика в памятниках духовного и мирского содержания

В «Книге святых тайн Еноха» даны своеобразная космологическая схема построения мира (описание «четвёртого неба») и некоторые астрономические сведения о движении Солнца и Луны, продолжительности солнечного и лунного года, соответственно 365¼ дня и 364 дня.

В книге Козьмы Индикоплова «Христианская топография» тоже дана система построения материального мира. Светила движутся по небесным кругам. Ему известно о 12 знаках зодиака («домове животни»), то, что в каждом из них Солнце находится месяц, то, что солнечный год (365¼) не равен лунному (364), но это неравенство не объясняется и не исследуется (в отличие от Кирика).

В «Шестодневе» имеется описание размеров Земли, Солнца и Луны (длина окружности Земли =250 000 стадий, диаметр Земли = 80 000, длина окружности Луны – около 120 000 стадий, диаметр Солнца = 50 000 стадий). Эти данные совпадают с данными Эратосфена (III в. до н.э.). (Стадия = 9600 дюймов или ¼ км).

Астрономические и физико-математические сведения «Толковой палеи» ограничиваются повторительным вычислением размеров светил: уточняется диаметр Солнца (3 000 000 стадий).

Из этих и некоторых других источников становится ясно, что в Киевской Руси уже было известно соотношение между длиной окружности и диаметром, т.е. число π =3,125 (Иоанн-экзарх; экзарх – титул главы болгарской церкви).

Одним из мирских рукописных источников является «Русская Правда», сохранившаяся в трёх редакциях:

краткой – 43 статьи (36 содержат сведения о денежной системе, в 7 нет данных по математике),

пространной – 121 статья (68 – сведения о денежной системе, 50 – не содержат сведений по математике),

сокращённой – более позднего периода (≈ XV в., Московская Русь).

Математические сведения, как правило, находятся в статьях с сельскохозяйственным содержанием. Кратко укажем такие сведения:

· В некоторых из них содержат задачи весьма сходные с задачей Фибоначчи «о кроликах», приводящей к числам Фибоначчи. Вычисления представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Эта же прогрессия встречается в задаче о пчёлах.

· В других помещены математические выкладки, основанные на системе мер:

1 гривна =20 ногатам = 25 кунам =50 резанам,

1 ногата =1.25 куны = 2,5 резаны.

· Еще одна группа – статьи об определении приплода и прибытков – указывает на повышение уровня вычислительной техники по сравнению с современниками Кирика.

5. Математические знания русских зодчих и ремесленников

Непрямые источники дают, пожалуй, больше сведений для рассматриваемой темы. Русские зодчие приобретали свои знания долголетним ученичеством, самостоятельным опытом и «книжным учением». Бесспорно, что они не только знали свойства материалов и умели соединять их в строительные конструкции, но и обладали некоторой суммой знаний в области арифметики и геометрии:

· Зодчие Киевской Руси широко использовали геометрические построения, где важное место имели отношения 1:2,2:3, 3:4, 4:5, 5:6и т.д., а также«золотое сечение».Геометрический анализ храма св. Софии К.Н. Афанасьевым, дал следующие результаты: если не учитывать второстепенные детали, то, оказывается, с помощью простейших геометрических построений, исходя из размеров главного купола, можно последовательно определять все остальные размеры храма. Причём эти построения можно произвести и на выровненной площадке, при разбивке сооружения в натуре!

· Рассмотрим аддитивный ряд «золотого сечения»: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55;…и отношения между последующими двумя членами:

0; 1; 0,5; 0,667; 0,6; 0,625; 0,6154; 0,619; 0,6176; 0,6182;….

-ый член которого при стремится к величине . С помощью числа можно получить новый числовой ряд:

1; 0,618; 0, 382; 0,236; 0,146; 0,090; 0.056; …,

обладающий следующими свойствами:

1) сумма каждых двух последующих членов ряда равна предыдущему члену;

2) каждый член ряда является средним геометрическим предыдущего и

последующего члена ряда.

0,618 0,382 0.618

Оказывается, если квадрат со стороной 1 разделить на два прямоугольника со сторонами 0,618 и 0,382, то площадь второго прямоугольника будет средним геометрическим между площадью первого квадрата и площадью всего квадрата. Отсюда следует, что

· отношение площади квадрата со стороной 0,382 к площади квадрата со стороной 0.618 равно 0,382;

· объём куба со стороной 0,618 есть среднее геометрическое между объёмом куба со стороной 1 и объёмом куба со стороной 0,382.

Таким образом, числа 0,618; 0, 382; 0.236 представляют собой второй, третий и четвёртый члены ряда. Так вот эти отношения были известны зодчим Киевской Руси и воплощены в ряде строительных сооружений. Ими пользовались при графическом определении основных размеров здания с помощью пропорционального циркуля. В ряде построек эти отношения слегка варьировались, так при строительстве церкви покрова на Нерли под Новгородом (1165-1167) в качестве такого основного отношения было принято . Таким образом, можно отметить значимую осведомлённость русских зодчих в области прикладной математики, которые создавали архитектурные формы с помощью «геометрии построения» с использованием циркуля и линейки.

Интересные данные можно получить, исследуя строительные материалы, т.к. условия прочности, технология работ, сама архитектурная форма заставляли соблюдать определённые пропорции при изготовлении кирпича. В XII веке обычными размерами для него были 30,8×22×4,4 см. Для сооружений часто применялся и бутовый камень (золотые ворота и стены Софийского собора в Киеве, старинные церкви в Чернигове). Для перекрытия таких бесформенных камней подходил более тонкий и большего размера кирпич – плинфа, типичный для зданий X-XI века, размерами 40×30×3,5. Изменение характера конструкций повлекло и изменение кирпича, он становится более толстым (30×20×5,5) и приближается размерами к современному (25×12×6,5).

Анализ работ мастеров различных ремёсел позволил тоже выявить владение некоторыми математическими сведениями. В эпоху, предшествующую Киевской Руси гончарное производство вытеснило домашнее, формы кувшинов были очень разнообразны. По эволюции фибул - металлических застёжек – и ташек – пуговиц - можно проследить постепенные изменения геометрических форм (1-я: один полукруглый щиток, второй – ромбовидный; во 2-й: полукруг делится на 5 равных частей, в 3-й – на 8, затем – на 6, затем появляются новые формы, в частности и криволинейные).

Внешний вид очень многих литых предметов и инструментов, найденных при раскопках курганов, X-XIII вв., указывает на знакомство мастеров с простейшими свойствами геометрических фигур. Распространённый в то время способ нанесения орнамента на браслеты, височные кольца производился зубчатым металлическим колёсиком (24 зубчика). Для изготовления этого инструмента нужно было уметь делить окружность на 24 части, ручной гончарный круг и клейма ремесленников имели разнообразные формы (концентрические и соприкасающиеся окружности, квадрат, вписанный в квадрат и пр.). Встречается деление окружности на 4, 6, 8 равных частей.

Весьма разнообразные геометрические формы встречались в литейном, оружейном и кузнечном деле. Например, замок и ключ к нему (части рукояток ключей – в форме цилиндра, призмы и т.д.). Сложными по форме были и русские шлемы, литейщики по восковой модели изготовляли арки, паникадила и пр., золотых дел мастера использовали тоже разнообразные формы. Резюмируя вышесказанное, можно отметить, что мастерам Киевской Руси были известны как плоские геометрические фигуры (квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, круг), так и пространственные (куб, параллелепипед, пирамида, конус, шар) и их части, а также деление окружности на 6, 3 и 24 части.

6. Характеристика славянской нумерации.

Из непозиционных систем счисления наиболее совершенными являются алфавитные системы (ионийская, славянская, еврейская, арабская, грузинская). В древних греческой и латинской системах счисления использовались буквы для обозначения чисел. Для славян неудобство создания такой нумерации заключалось в том, что в греческих и латинских алфавитах не хватало букв для обозначения русских звуков.

Славянская кирилловская нумерация состояла из 27 основных символов для обозначения единиц, десятков и сотен. Для обозначения тысяч использовались те же буквы, но с обозначением значка, который ставился слева от цифр, выражающих количество тысяч.

Порядок записи был таков: тысячи, сотни, десятки и единицы. Исключением являлись двузначные числа, т.к. буквы, указывающие количество второго десятка. записывали после единиц. Титла тоже меняли форму, но вместо титла буквы иногда помещали между точками.

Описанная система называлась «малым числом» и не распространялась на числа больше тысяч миллионов (10⁹). Существовала также система – «великое число» до 10⁴⁹, а далее «и более сего несть человеческому уму разумети».

Для обозначения единиц высших разрядов позднее (≈XVв.) была выработана очень оригинальная система обозначений.

Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с р