Построение и деление окружностей

Построение окружности. Через одну или две точки можно провес­ти неограниченное число окружностей. Через три точки, лежащие на одной плоскости, можно провести только одну окружность.

При нахождении центра окружности, проходящей через три задан­ные точки, соединяют эти точки ломаной прямой АВС (черт. 18). Че­рез середины прямых АВ и ВС проводят перпендикуляры. Центр О искомой окружности будет находиться в точке пересечения перпен­дикуляров, а радиус равен расстоянию от центра О до одной из задан­ных точек.

Если задано четыре и более точек, принадлежащих окружности, то для нахождения центра берут только три точки и построение выпол­няют изложенным способом (черт. 19).

При нахождении центра окружности заданной дуги на дуге выби­раются три произвольные точки и дальнейшее построение выполня­ется аналогично.

Центр окружности легко находится при помощи равнобедренного треугольника (черт. 20). Вершину прямого угла совмещают дважды с произвольными точками окружности. Стороны треугольника пе­ресекут окружность один раз в точках А ж В, второй - в точках С и D. Полученные точки соединяют прямыми АВ и CD, пересечение ко­торых и определит искомый центр О.

Центр окружности определяют и проведением двух непараллель­ных хорд (черт. 21). Пересечение двух перпендикуляров, проходящих через середины хорд, и будет центром данной окружности О.

Деление окружности на три равные части(черт. 22). Из конца од­ного диаметра проводят дугу радиусом R, равным радиусу заданной окружности. Эта дуга засекает на данной окружности две искомые точки 1 и 2. Третья точка будет лежать на другом конце этого же диаметра. Соединив полученные точки 1, 2, 3 прямыми, получают вписанный в окружность правильный треугольник.

Деление окружности на четыре равные части(черт. 23). Окружность разделится на четыре равные части двумя взаимно перпендикуляр­ными прямыми с точкой пересечения их в центре окружности О. Эти­ми прямыми могут служить вертикальный и горизонтальный диа­метры окружности. Соединив четыре точки по замкнутому контуру прямыми линиями, получают вписанный в окружность квадрат.

Деление окружности на пять и десять равных частей(черт. 24). Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра окружности АВ и CD. Радиус ОВ делят пополам в точке Е. Из точки Е делают засеч­ку F на диаметре АВ радиусом, равным отрезку ЕС. Величиной от­резка CF окружность разделится на пять равных частей. Половина отрезка CF разделит окружность на десять равных частей.

Разделить окружность на пять и десять равных частей можно и другим способом (черт. 25). Среднюю точку Е на радиусе ОВ соеди­няют прямой с концом диаметра D. Из точки Е откладывают отре­зок EF = ОЕ. Из точки D проводят дугу радиусом R = DF до пересе­чения с окружностью. Величина хорды MN разделит окружность на пять равных частей, а отрезка DF- на десять равных частей. Соеди­нив последовательно полученные точки ломаной линией, получают вписанный в окружность правильный пяти- или десятиугольник.

Черт. 18
Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

C2

3 С

4 D

Черт. 23

Черт. 24

Деление окружности на шесть равных частей(черт. 26). Радиусом окружности R из двух концов одного какого-либо диаметра, напри­мер CD, проводят две дуги до пересечения с окружностью. Точки пересечения 1, 2, 3, 4 и две точки пересечения этого же диаметра CD разделят окружность на шесть равных частей. Соединив последова­тельно шесть точек прямыми по замкнутому контуру, получают впи­санный в окружность правильный шестиугольник.

Деление окружности на семь равных частей(черт. 27). Радиусом окружности R из конечной точки какого-либо диаметра проводят вспомогательную дугу до пересечения ее с окружностью. Точки MN соединяют прямой. Половина отрезка MN (т. е. отрезок МК) разде­лит окружность на семь равных частей. Соединив последовательно полученные точки прямыми по замкнутому контуру, получают впи­санный в окружность правильный семиугольник.

Деление окружности на восемь равных частей(черт. 28). Два вза­имно перпендикулярных диаметра разделят окружность на четыре равные части (ABCD). Два смежных угла делят пополам. Линии де­ления пересекут окружность еще в четырех точках. Соединив восемь точек последовательно ломаной линией, получают вписанный в ок­ружность правильный восьмиугольник.

Деление окружности на двенадцать равных частей(черт. 29). Из четырех концов двух перпендикулярных диаметров проводят вспо­могательные дуги радиусом, равным радиусу окружности R. Восемь точек пересечения дуг окружности в совокупности с точками концов диаметров разделят окружность на двенадцать равных частей. Со­единив последовательно все точки по замкнутому контуру, получа­ют вписанный в окружность правильный двенадцатиугольник.

Деление окружности на любое количество равных частей(черт. 30).

Разделить окружность на любое количество равных частей мож­но и графическим способом (черт. 31). Величину одного диаметра де­лят на то количество одинаковых частей, на которое нужно разде­лить окружность. Из какого-либо конца этого диаметра проводят вспомогательную дугу окружности радиусом R₁, равным диаметру данной окружности до пересечения с диаметром, который проведен перпендикулярно первому в точках F и F_1. Лучи, исходящие из точек F и F₁, и проходящие через четные или нечетные точки на диаметре, разделят окружность на нужное количество равных частей.

При делении окружности на части можно воспользоваться специальными таблицами хорд (коэффициентов для деления окружности). В справочной таблице (таблица 2) приведены коэффициенты деления окружности на любое количество равных частей. Длина хорды l определяется умножением диаметра окружности d на коэффициент К:

l = dK.

Величина коэффициента К зависит от числа частей делений ок­ружности.

Таблица 1.2 - Таблица хорд (коэффициентов для деления окружности)

Примечание. Пример деления окружности диаметром 50 мм на 14 равных ча­стей:

d- К = 50 х 0,223 »11,15. Раствором циркуля 11,15 мм окружность 050

раз­делится на 14 равных частей.

Сопряжения линий

Сопряжение - плавный переход одной линии в другую. Общая точка этих линий называется точкой сопряжения, или точкой перехода.

Построение касательной к окружности(черт. 32). Касательная пря­мая имеет с окружностью одну общую точку и составляет угол 90° с радиусом, проведенным в эту точку касания. При построении пря­мой, касающейся окружности в заданной точке С,проводят искомую прямую перпендикулярно к радиусу ОС. При нахождении цент­ра окружности, касающейся заданной прямой в точке С, проводят через эту точку перпендикуляр к прямой и откладывают на нем ве­личину радиуса заданной окружности.

Построение касательной к окружности через заданную точку К, лежащую вне окружности(черт. 33). Соединяют точку К с центром окружности О. Расстояние ОК делят пополам. Из средней точки О₁,как из центра, радиусом О₁О проводят дугу окружности, пересекаю­щую заданную окружность в точке С. Касательная СК к окружности перпендикулярна к радиусу ОС. Точка С - точка сопряжения.

Построение внешней касательной к двум окружностям(черт. 34). Из центра О₁, проводят вспомогательную окружность радиусом R₃ = R_l - R₂инаходят точку К. Построение точки К аналогично постро­ению точки С, приведенному на черт. 33. Точку 0, соединяют с точ­кой К прямой и проводят параллельную ей прямую из точки О₂ до пересечения с окружностью. Точки сопряжения С₁ и С₂ будут лежать на пересечении прямых О₁К и ранее проведенной линии из центра О₂с окружностями радиусов R₁и R₂.

Если R₁ = R₂,то точки сопряжения будут лежать на перпендику­лярах, проведенных из центров окружностей к линии центров.

На черт. 35 показано построение касательной к двум окружнос­тям способом, аналогичным предыдущему. Вспомогательная окруж­ность проводится в этом случае радиусом R₃ = R₁ + R₂.

Сопряжение двух дуг окружностей.Точки касания двух дуг окруж­ностей должны находиться на линии центров О₁О₂ (черт. 36) или на продолжении линии центров О₁О₂ (черт. 37). Расстояние между цент­рами О₁О₂ = R₁ + R₂ - для случая внешнего касания (черт. 36) или О₁О₂ = R₁ - R₂ - для случая внутреннего касания (черт. 37).

Сопряжение двух дуг окружностей дугой заданного радиуса.Из центров О₁ и О₂описываются дуги вспомогательной окружности ра­диусом R₃ = R + R₁и R₄ = R + R₂(при внешнем сопряжении, черт. 38) или R₃ = R – R₁и R₄ = R - R₂(при внутреннем сопряжении, черт. 39). Точка О пересечения этих дуг и будет центром искомой дуги окруж­ности радиуса R.

Точки сопряжения С, и С₂ будут находиться на линии центров О₁О и О₂О (черт. 38) или на продолжении линии центров (черт. 39).

При нахождении центра радиуса внешне-внутреннего сопряжения вспомогательные дуги проводятся радиусами R₃=R –R₁из центра О₁, и R₄=R + R₂из центра О₂ (черт. 40).

Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей дугой задан­ного радиуса(черт. 41). Из заданного центра О, проводится дуга вспо­могательной окружности радиусом R₃=R₁+R,а из заданного цент­ра О₂ - радиусом R₄=R₂ - R. Пересечение этих дуг определит искомый центр О радиуса сопряжения R. Точка касаний С, находится на линии центров О₁О, а С₂ - на продолжении линии центров О₂О.

Сопряжение окружности с прямой по дуге радиусаR (черт. 42). Из заданного центра О₁ проводится дуга вспомогательной окружности радиусом R₂= R₁ + R и прямая, параллельная заданной, на расстоя­нии R (черт. 42, внешнее касание). Пересечение вспомогательной дуги окружности и прямой определит искомый центр О. Точка сопряже­ния дуг С₁ будет лежать на линии центров О₁О, а прямой и дуги со­пряжения С - на перпендикуляре, проведенном к заданной прямой из центра О.

Отметим прямой угол (90°).

В случае внутреннего касания дуга вспомогательной окружности проводится радиусом

R₂ = R₁- R (черт. 43).

Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности радиуса R (черт. 44). Построение сводится к нахождению центра радиуса со­пряжения R. Искомый центр О будет находиться на пересечении вспо­могательных прямых, проведенных параллельно заданным, на рас­стоянии, равном R. Точки сопряжения С₁ и С₂лежат на перпендику­лярах к заданным прямым, проведенных из точки О.

Если величина радиуса сопряжения R не задана, а задана одна из точек сопряжений С₁, то искомый центр О находится на пересечении перпендикуляра, проходящего через точку С₁, и биссектрисы угла, образуемого данными прямыми (черт. 45).

Если заданы две точки сопряжения прямых, а величина радиуса сопряжения неизвестна, то центр О будет находиться на пересече­нии перпендикуляров, проведенных через заданные точки к задан­ным прямым (черт. 46).

Сопряжение параллельных прямых дугой окружности.Если даны две концевые точки сопряжения С₁С₂, то центр радиуса сопряжения R будет лежать на середине прямой С₁С₂ (черт. 47).

Если дана одна точка сопряжения С₁ и надо сопрячь прямые дву­мя одинаковыми радиусами, то точка сопряжения С₁ и центры О₁ и 0₂будут лежать на прямой, проходящей посредине сопрягаемых пря­мых (черт. 48). Центр О₁ находят на пересечении этой линии и пер­пендикуляра, проведенного из точки С₁. Центр О₂находят на рас­стоянии, равном двум R, т. е. O₁О₂ = 2С₁О₁.Точка сопряжения дуг С₃ лежит на пересечении линии центров O₁О₂. Точка сопряжения С₂ле­жит на пересечении перпендикуляра, проведенного через центр О₂к заданной прямой C₂D₂.

Если даны две точки сопряжения и требуется сопрячь их двумя радиусами R₁ и R₂, то точка сопряжения двух дуг С будет находиться на прямой С₁С₂. Точку С можно отметить посредине прямой С₁С₂,тогда R₁ = R₂(черт. 49), а можно взять произвольно (черт. 50). Центр

радиуса сопряжения О₁ будет лежать на пересечении перпендикуляра, проведенного через точку С₁, и перпендикуляра, проведенного через середину отрезка С₁С. Величина радиусов сопряжения равна отрезкам С₁О₁ и С₂О₂.