ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

 

2.5. Уравнение неразрывности для элементарной струйки

 

Одним из важнейших следствий гипотезы сплошности является так называемое уравнение неразрывности потока – уравнение, выражающее зависимости между скоростями в потоке, в котором гидродинамические величины непрерывны. Для капельной жидкости уравнение непрерывности выражает условие, при котором в потоке отсутствуют разрывы струй, и поэтому называется уравнением неразрывности.

Выведем уравнение неразрывности для элементарной струйки (рис.2.8).

Рис.2.8 - Схема элементарной струйки в неразрывном потоке

 

Рассмотрим отсек струйки длиной , ограниченный сечениями слева и справа. Обозначим через массовый расход жидкости через сечение струйки . Вследствие непрерывности всех величин через сечение протекает расход.

 

 

Ввиду того, что в общем случае расходы не равны друг другу, в рассматриваемом объеме элементарной струйки будет каждую секунду (единицу времени) происходить изменение массы (прирост или убыль), которое определим по формуле

 

.

 

Изменение массы может произойти на основании той же гипотезы сплошности (принципа непрерывности) только за счет изменения плотности жидкости и объема отсека струйки.

Масса жидкости в рассматриваемом объеме равна:

 

,

 

где – некоторое промежуточное значение живого сечения рассматриваемой элементарной струйки.

Секундное изменение массы может быть вычислено по формуле

 

.

 

Приравнивая оба значения , получим

 

. (2.1)

 

Имея в виду, что

 

,

 

 

,

 

,

 

,

 

уравнение (2.1) можно представить в виде:

 

=0. (2.2)

 

Уравнения (2.1) и (2.2) являются уравнениями неразрывности. Исследуем полученные уравнения.

Рассмотрим установившееся движение жидкости (капельной или газа); для установившегося движения

 

.

 

Поэтому из уравнения (2.1) следует, что

 

,

 

откуда

 

, (2.3)

 

 

т.е. в установившемся движении капельной жидкости и газа массовый расход по длине элементарной струйки имеет одно и то же значение. Уравнение (2.3) называют уравнением массового расхода в элементарной струйке.

 

Для капельной жидкости , поэтому

 

, (2.4)

 

Уравнение (3.3) называют уравнением объемного расхода в элементарной струйке.

Из формул следует, что скорости в различных сечениях элементарной струйки капельной жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений

 

, (2.5)

 

а в элементарной струйке газа обратно пропорциональны произведениям , т.е.

 

, (2.6)

 

 


 

2.6. Расход и средняя скорость потока

 

Поток представляет собой совокупность элементарных струек (рис.2.9).

 

Рис. 2.9

Из рис. 2.9 видно, что скорость в отдельных струйках различна. Расход потока равен сумме расходов элементарных струек, т.е.

 

(2.7)

 

Скорость движения потока характеризуется средней скоростью в данном поперечном сечении:

 

(2.8)

 

 

2.7. Уравнение неразрывности потока

 

Распространим уравнение неразрывности для элементарной струйки на струйный поток. Для этого проинтегрируем (2.3) по всей площади живого сечения

(2.9)

Таким образом, массовый расход по длине установившегося потока имеет одно и тоже значение.

Для капельной жидкости , поэтому из (2.4) следует

 

, (2.10)

Таким образом, объемный расход по длине установившегося потока капельной жидкости имеет одно и тоже значение.

Имея в виду, что согласно (2.8)

из (2.10) получим, что

.

 

или для двух живых сечений потока

,

откуда имеем

,

т.е. средние скорости потока капельной жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока.

 

2.8. Методы исследования движения жидкости

 

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа изучает изменение положения в пространстве отдельных частиц жидкости, т.е. траектории их движения.

Метод Эйлера изучает поле скоростей, т.е. картину движения частиц жидкости в отдельных точках пространства в данный момент времени.

Метод Лагранжа в гидродинамике используется редко, ввиду его сложности. Обычно изучение движения основано на методе Эйлера, суть которого заключается в следующем.

Метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке в данный момент времени.

В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени (рис.2.10) в разных точках. Они могут изменяться во времени в каждой точке.

 

Рис. 2.10

 

Проекции скорости на оси координат можно записать в виде функций:

 

(2.11)

Функция (2.11) характеризует поле скоростей движущейся жидкости.

Используя метод Эйлера, можно выразить ускорение жидкой частицы следующим образом:

 

.

 

Если учесть, что для движущейся частицы ее координаты являются функциями времени:

 

то проекции скорости будут сложными функциями времени:

 

Используя правило дифференцирования сложных функций, для проекций полного ускорения получим:

 

(2.12)

 

Учитывая, что для движущейся жидкости

 

,

 

преобразуем функции (2.12) к виду

 

(2.13)

 

где ; – индивидуальные или субстанциональные производные;

– локальные производные, выражающие изменение во времени вектора в фиксированной точке пространства;

конвективная производная вектора . Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.

 

2.9. Уравнения Эйлера

 

По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело:

 

. (2.14)

 

Выделим в потоке жидкости элементарный объем в форме параллелепипеда (рис.2.11) и запишем основное уравнение (2.14) в проекциях по осям:

 

(2.15)

 

Рис.2.11

 

Для первого уравнения (2.15) найдем массу

 

.

 

Ускорение вдоль оси равно первой производной скорости по времени т.е. :

 

.

 

Учитывая, что ,

где ,

получим

 

. (2.15а)

 

На выделенную элементарную массу действуют поверхностные силы давления и объемные силы (или массовые), т.е. в силу включаются эти силы.

Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань ABCD и A’B’C’D’:

 

,

 

где и - среднее гидростатическое давление для указанных граней:

 

.

Тогда . Сила войдет в основное уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления на боковые грани:

 

. (2.16)

 

Проекция объемной силы определяется выражением:

 

, (2.17)

 

где X–проекция ускорения объемной силы;

- плотность жидкости;

dxdydz=dV – объем параллелепипеда.

Проекция равнодействующей с учетом выражений (2.16) и (2.17) имеет вид:

 

(2.18)

 

Подставляя выражение (2.15а) в уравнение (2.18), получим:

.

 

После сокращения на , т.е. отнеся уравнение к единице массы, получим:

 

. (2.19)

 

Аналогично составив выражения для сил и и для и , получим три уравнения Эйлера:

 

(2.20)

 

Система (2.20) описывает движение как капельной, так и газообразной жидкости. В системе 3-х уравнений пять неизвестных , поэтому необходимо иметь еще два уравнения. Такими уравнениями являются уравнения неразрывности и характеристическое уравнение.

При (для капельной жидкости) достаточно уравнения неразрывности:

.

 

 


 

2.10. Интегрирование уравнения Эйлера

для установившегося движения жидкости

 

При установившемся движении частные производные по времени равны нулю, т.е.

 

.

 

В этом случае движение жидкости может быть вихревым.

Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:

 

(2.21)

 

Умножим первое уравнение на , второе на и третье на ; здесь , и являются проекциями элементарного перемещения.

Тогда, для первого уравнения будем иметь:

 

. (2.22)

 

Учитывая, что ; и , преобразуем правую часть уравнения (2.22 3.16) к виду:

 

,

 

где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции скорости на ось т.е.

 

. (2.23)

 

С учетом уравнения (2.23) первое уравнение запишем в виде

 

. (2.23а)

 

Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:

 

; (2.23б)

 

. (2.23в)

 

Сложив почленно уравнения (2.237а, б, в), после некоторых преобразований получим:

 

.

 

Здесь представляет полную скорость в данной точке.

Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функции и полного дифференциала , т.е.

 

 

и

 

;

 

тогда имеем

 

 

или

 

. (2.24)

 

После интегрирования уравнения (2.24) получаем:

 

. (2.25)

 

Выражение (2.25) называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Если движение жидкости протекает под действием только сил тяжести и жидкость несжимаемая, т.е. , то

 

. (2.26)

 

С учетом выражений (2.26) интеграл Бернулли (2.25) принимает вид:

 

или после деления членов уравнения на получим известное уравнение Бернулли в его обычной форме:

 

. (2.27)

 

Для установившегося вихревого движения значение постоянно только вдоль одной линии тока или траектории (для элементарной струйки). Это следует из условий интегрирования для потенциальных течений.

Уравнение Бернулли имеет большое практическое и теоретическое значение. Согласно уравнению Бернулли сумма трех высот остается неизменной вдоль данной элементарной струйки (рис.2.12).

Высота называется геометрической высотой, или высотой положения центра тяжести сечения струйки; –высота, определяемая величиной гидродинамического давления, или пьезометрическая высота; скоростная высота, или скоростной напор.

 

Рис. 2.12.

 

Энергетический смысл уравнения Бернулли представляет собой полную энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Сопоставляя основное уравнение гидростатики с уравнением Бернулли, видим, что слагаемое можно рассматривать как кинетическую энергию, отнесенную к единице веса жидкости:

 

.

 

Так как , то полный запас энергии элементарной струйки, отнесенной к весу жидкости, будет равен сумме:

 

.

 

В связи с этим уравнение Бернулли часто называют уравнением энергии.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ | Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1507;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.048 сек.