Сложение пар сил в плоскости и в пространстве

Теорема 1. Система нескольких пар сил на плоскости П эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:

. (4.3)

На рис.4.7а показаны три пары сил с моментами ₁=F₁h₁, =-F₂h₂,

=F₃h₃, а на рис.4.7б представлена их сумма с моментом = F₁h₁-F₂h₂+ F₃h₃.

а		б
Рис.4.7

Теорема 2. Две пары сил, действующие на одно и то же тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил.

. (4.4)

Пусть имеются две пары сил , лежащие в пересекающихся плоскостях. Эти пары сил можно получить из пар сил, как угодно

Рис.4.8

расположенных в пересекающихся плоскостях, путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновременного изменения плеч и сил пар. Сложим силы в точках А и В по правилу параллелограмма. После сложения получим две силы , образующих пару, векторный момент которой равен Тогда, поскольку :

где - векторные моменты заданных пар сил .

Итак, имеем

,

т.е. векторный момент эквивалентной пары сил равен сумме векторных моментов заданных пар.

Таким образом, чтобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их векторные моменты по правилу параллелограмма.

В общем случае любое количество пар сил можно заменить одной парой сил, последовательно применяя правило параллелограмма ко всем векторным моментам пар сил. Векторный момент эквивалентной пары равен сумме векторных моментов заданных пар сил:

. (4.5)

Пример 1. Пары сил с моментами ‌‌ 10 H×м, =3 H×м и =6 H×м расположены в плоскостях, как показано на рис.4.9. Определить модуль момента эквивалентной пары сил.

Рис.4.9

Решение. Сложим сначала алгебраические моменты пар сил, расположенные в параллельных плоскостях, m1 и m3. Получим пару с моментом m13= m1 - m3 =10-6=4 (моменты пар сил имеют противоположные

знаки).

Пару сил с моментом сложим с парой сил, имеющей момент .

Так как угол между и прямой, то модуль момента эквивалентной пары Нм.