Скатывание цилиндра с наклонной плоскости

Рис. 4.5

Будем считать, что скатывание цилиндра радиусом R происходит без скольжения. Силы, действующие на цилиндр, указаны на рис. 4.5. Сила Т – сила сцепления, которая обеспечивает скатывание цилиндра. Ось х удобно направить вдоль наклонной плоскости. Напишем законы движения, имея в виду, что через точку С проходит мгновенная ось вращения. Уравнения (4.11) имеют вид

, , (4.12)

где ; отсчет направлений вращения выбран так, чтобы угловая скорость ( ) увеличивалась при скатывании цилиндра.

Вычисляя Т из второго уравнения (4.12) и подставляя в первое, учитывая, что , получим

или

. (4.13)

Таким образом, центр масс цилиндра движется с постоянным ускорением .

Маятник Максвелла

Рис. 4.6

Маятник Максвелла представляет собой диск, подвешенный на нерастяжимой нити. Нить конечной длины намотана на ось диска и закреплена на оси (рис. 4.6). Уравнения движения маятника имеют вид

, , (4.14)

где - момент инерции всего диска относительно оси, проходящей через центр масс; - радиус оси диска, на которую намотана нить; Т – сила натяжения.

Структура уравнений маятника Максвелла полностью аналогична структуре уравнений цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости (уравнения 4.12) и решаются аналогично.

Получаем из (4.14)

откуда

(4.15)

Проследим динамику движения маятника. Ускорение диска всегда постоянно и направлено вниз. Его числовое значение тем меньше, чем больше момент инерции . При достаточно большом моменте инерции диск будет иметь малое ускорение. В пределе , , а ; так и должно быть, потому что диск просто висит на нити без движения. При сила натяжения нити . В этом случае диск свободно падает, и поэтому нить не испытывает никакого натяжения. Уравнения (4.14) и решение (4.15) не описывают поведение маятника в нижней «мертвой» точке. В этом положении центр масс диска испытывает большое ускорение. По третьему закону Ньютона, это приводит к большому натяжению нити. Если нить недостаточно прочна, то она может в этот момент порваться.

Рис. 4.7

Рассмотрим еще один пример плоского движения тела.

Пример. На двух нерастяжимых невесомых нитях одинаковой длины подвешен в точке О однородный стержень АВ массой m и длиной 2L (рис.4.7). Нити со стержнем образуют углы . В некоторый момент времени нить ОВ обрывается. Найти натяжение Т нити ОА непосредственно после момента обрыва.

Решение. Движение стержня после разрыва нити плоское. В момент разрыва ускорение центра находится по теореме об ускорениях при плоском движении. За полюс выберем точку А. Вычислим ускорение центра масс стержня АВ, т.е. ускорение точки С:

, (4.16)

здесь - ускорение полюса А, - ускорение центра масс при его вращении относительно полюса А. Поскольку точка А может двигаться только по окружности радиуса ОА, а ее скорость в момент обрыва нити равна нулю, то . Проекцию ускорения точки А по касательной обозначим .

Рис. 4.8

Обозначим модуль углового ускорения стержня через , а модуль угловой скорости через (начальный момент времени равен нулю). Тогда и направлена вдоль стержня от точки С к точке А; и направлена перпендикулярно стержню в точке А (рис. 4.8).