Трение гибкой нити о цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим нить, касающуюся поверхности кривого цилиндра вдоль дуги ADEB с центральным углом α (рис.11.6а). Коэффициент трения нити о цилиндр равен fo. К одному концу нити приложена сила P. Найдем, какую наименьшую силу надо приложить к другому концу, чтобы сохранить равновесие.

а		б
Рис.11.6

Для этого рассмотрим равновесие элемента нити DE длины , где R – радиус цилиндра. На него действуют приложенные в точках D и Е натяжение нити и , нормальная реакция и сила трения . Составляя условия равновесия в проекциях на касательную и нормаль и считая , , будем иметь (с точностью до членов второго порядка малости) (рис.11.6б):

Но так как рассматриваемое положение равновесия является предельным, то dF_тр = f₀dN. Подставляя сюда значения dF и dN, полученные выше, получим

.

Так как напряжение нити в точках А и В равно соответственно Р и Q, то, разделяя в полученном уравнении переменные и беря от обеих частей определенные интегралы в соответствующих пределах, получим:

, или ,

откуда

Полученная формула (формула Эйлера) показывает, что уравновешивающая сила Q не зависит от радиуса цилиндра и при данном f₀ быстро убывает с увеличением .

Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому.

а		б
Рис.11.7

Трение качения возникает оттого, что при движении деформации подвергается как поверхность, так и колесо. Колесо несколько сплющивается, т.е. его нельзя считать абсолютно твердым – расстояние между двумя точками при движении перестает быть постоянным. Поэтому поверхность катящегося тела и плоскость, по которой тело катится, несколько деформируются вследствие давления тела на плоскость.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием веса катка P и горизонтальной силы Q, приложенной в его центре (рис.11.7а). В точке соприкосновения катка с плоскостью возникает нормальная реакция N этой плоскости, равная весу катка P, и сила трения F_тр, препятствующая скольжению катка по плоскости и равная по модулю силе Q, но направленная в противоположную сторону.

Однако если бы сопротивление неподвижной плоскости сводилось только к силам N и F_тр, то каток не мог бы быть в равновесии, так как пара (Q,F_тр) оставалась бы, очевидно, неуравновешенной. Поэтому необходимо допустить, что результирующая реакция неподвижной плоскости приводится не только к силам N и F_тр, но еще и к некоторой паре, которая уравновешивает пару (Q,F_тр), т.е к паре ( ) рис.11.7.

Эта пара, препятствующая качению катка, называется парой качения. Кулон опытным путем нашел, что момент этой пары не может превышать некоторого определенного в условиях данного опыта максимального значения; это максимальное значение момента пары трения качения не зависит от радиуса катка и прямо пропорционально нормальному давлению катка на плоскость или, что то же, нормальной реакции N.

Таким образом, если обозначим абсолютную величину этого максимального момента пары трения качения через М^max, то М^max = f_kN, где f_k – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения качения. Этот коэффициент выражается в линейных единицах. Значение коэффициента трения качения определяется опытным путем и зависит от материала катка и опорной поверхности.

Рассмотрим общий случай равновесия катка. Пусть к катку приложена горизонтальная сила Q в точке В, так что АВ = h (рис.11.7б), и пусть каток находится в покое. В точке А к катку приложены сила трения скольжения и нормальная реакция N опорной плоскости, направленная вертикально вверх и отстоящая от линии действия веса Р на величину d.

Напишем уравнения равновесия сил, приложенных к катку:

Максимальное значение модуля силы F_тр есть

F_max = f N = f P,

где f – коэффициент трения скольжения; следовательно,

.

Кроме того, величина Nd = М есть момент пары трения качения; эта величина не может быть больше f_kN; следовательно, , а поэтому

, или ,

т.е.

и .

Итак, при равновесии катка сила Q должна удовлетворять условиям

и .

Если эти условия выполнены, то не произойдет ни скольжения, ни качения катка.

Пример 3. Определить, при каких значениях угла a (рис.11.8) цилиндр радиуса R, лежащий на наклонной плоскости, остается в покое, если коэффициент качения равен f_k.

Решение. Рассмотрим предельное положение равновесия, когда . Разлагая силы Р на составляющие Р_х и Р_у, запишем уравнения равновесия:

Рис.11.8

При уменьшении f_k до нуля величина также убывает до нуля. Отсюда заключаем, что равновесие сохранится при любом .

Полученным результатом можно пользоваться для определения коэффициента f_k, находя угол из опыта.

Библиографический список

1. Тарг С. М. Курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1995. - 416 с.

2. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1990. -606 с.

3. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности: Учебник./Под ред. С. Г. Варданяна. - М.: Изд-во "АСВ", 1995. - 568 с.

4. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П., Сопротивление материалов: Учеб. для вузов/ А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. - М.: Высш. шк., 1995. - 560 с.

5. Строительная механика. изд. 7-е, перераб. и доп: Учеб. для вузов. / Под ред. А. В. Даркова - М.: Высш. шк., 1976. - 600 с.

6. Богомаз И.В. Теоретическая механика. Статика: Тексты лекций. - Красноярск: КрасГАСА, 1999. 85с.