Угол и конус трения

Угол , образованный нормалью к поверхности связи и линией действия равнодействующих сил – нормального давления и максимальной величины силы трения, - называется углом трения (рис.11.3,а). Угол трения связан с коэффициентом трения соотношением

Полная реакция, действующая на точку со стороны поверхности связи, состоит из нормальной реакции и силы трения и лежит всегда внутри угла трения. Если в точке соприкосновения тела с поверхностью построить конус, ось которого направлена по нормали к поверхности связи, а угол при вершине равен , то реакция связи в данной точке всегда будет находиться внутри этого конуса, который называется конусом трения (рис.11.3,б). Шероховатость

а		б
Рис.11.3

по разным направлениям может оказаться неодинаковой. Тогда для разных направлений коэффициент трения также будет различным, а конус трения вообще не будет прямым круговым конусом.

Рассмотрим условия равновесия материальной точки на шероховатой поверхности. На точку действует активная сила , образующая угол с нормалью касательной плоскости к поверхности (рис.11.3б).

Если , то линия действия силы будет лежать внутри конуса трения и действие на точку силы будет всегда уравновешиваться действием силы реакции, лежащей внутри конуса трения, как бы велика ни была сила.

Если , то линия действия уже не будет находиться внутри конуса трения и сила не может быть уравновешена силой реакции. В этом случае точка начнет двигаться под действием силы , как бы ни была мала эта сила по величине.

Рассмотрим равновесие тяжелой материальной точки, которая

Рис.11.4

находится на шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом (рис.11.4), угол трения равен . Точка будет находиться в равновесии лишь тогда, когда линия действия силы тяжести будет проходить внутри

угла трения, т.е. при выполнении неравенства .

Следствия:

Равнодействующая активных сил, проходящая внутри конуса трения, не может вызвать движения тела, как бы велика она ни была.

Как бы ни была мала равнодействующая активных сил, не лежащая внутри конуса трения, она не может быть уравновешена силами трения и сообщает телу движение.

Пример1. Однородный стержень АВ длиной L опирается одним концом на гладкую вертикальную стену, а другим В – на шероховатую вертикальную стену (рис.11.5). Расстояние между стенами h<L. Определить коэффициент трения стены f, при котором возможно равновесие стержня.

Решение. Рассмотрим случай, когда точка А расположена выше точки В стержня. На стержень действует сила тяжести , приложенная посередине, нормальная реакция гладкой стены N_A и реакция шероховатой стены R_B, которую разложим на нормальную реакцию N_B и силу трения F_B^тр .

	Составим условия равновесия плоской системы сил:
Рис.11.5

К этим уравнениям следует добавить неравенство для сил трения

Из уравнений равновесия находим

Из геометрических условий задачи имеем: .

Для силы трения имеем следующие уравнение и неравенство:

Исключая из них силу трения , после сокращения на Р получаем: _.

Искомое условие для коэффициента трения f при равновесии стержня

принимает вид

Пример 2. Лестница опирается концами А и В на горизонтальный пол и вертикальную стену (рис. 11.6). Пренебрегая весом лестницы, определить, при каких положениях стоящего на ней человека система остается в равновесии. Углы трения _А и _В в точках А и В известны.

	a
	б
Рис. 11.6

Решение. Решим задачу графически. На лестницу действует сила тяжести Р, равная весу человека, реакции R_A и R_B в точках А и В, которые могут иметь любые направления внутри углов трения. При равновесии сил должны пересекаться в одной точке. Но реакции R_А и R _B могут пересекаться где угодно внутри заштрихованной на чертеже площади (рис. 11.6). Следовательно, при равновесии линия действия силы Р должна пересекать эту площадь.

При том положении лестницы, которое показано на рисунке, человек может подняться только до точки Д. Чтобы человек мог дойти до верхнего конца лестницы, угол , который она образует с вертикалью, должен быть не больше угла трения _А (от трения в точке В этот результат не зависит).

При отсутствии трения реакции R_А и R _B будут перпендикулярны поверхностям и пересекутся в точке О . Равновесие будет возможно только тогда, когда человек стоит в точке А лестницы.