Монотонность функции. Экстремумы
Теорема 5.5.(необходимое условие монотонности функции)
Если функция f(x) дифференцируема и не убывает на (а; b), то f ¢(x)³ 0 "хÎ(а; b). Если функция f(x) дифференцируема и не возрастает на (а; b), то f ¢(x) £ 0 "хÎ(а; b)
Доказательство: Пусть f (x) дифференцируема и не убывает на (а; b), т.е. "х1, х2 Î(а; b): х1 < х2 выполняется f (x1) £ f(x2). Возьмем любую точку х0Î(а; b). В силу дифференцируемости функции f(x) существует
.
Если Dх > 0, то х0 +Dх > х0 и f (x0 + Dх) ³ f (x0), откуда Dу ³ 0, значит, ³ 0.
Если Dх < 0, то х0 +Dх < х0 и f (x0 + Dх) £ f (x0), откуда Dу£0, но тогда ³ 0. Таким образом, (согласно одной из теорем о предельном переходе в неравенстве).
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Проведите это доказательство самостоятельно.
Теорема 5.6.(достаточное условие монотонности)
Если f ¢(x) > 0 на (а, b), то f (x) строго возрастает на этом интервале. Если f ¢(x) < 0 на (а, b) то f (x) строго убывает на этом интервале.
Доказательство: 1) Пусть f ¢(x) > 0 на (а, b). Возьмем "х1, х2 Î(а; b): х1 < х2. По теореме Лагранжа имеем
),
где х0 Î(х1, х2). Т.к. f ¢(x0) > 0, а х1 < х2, т.е. х2 – х1 > 0, то f (x2) – f (x1) > 0, откуда f (x2) > f (x1) – функция возрастает. ЧТД
2) Случай убывания функции доказать самостоятельно.
Теоремы 5.5 и 5.6. нельзя объединить в одно необходимое и достаточное условие. Действительно, условие f ¢(x) > 0 на (а, b) не является необходимым условием возрастания функции f (x), т.к., например, для строго возрастающей функции f (x) = х3 выполняется условие f ¢(x) = 3х2³ 0.
С геометрической точки зрения теорема 5.6 утверждает, что если касательные к графику функции во всех точках интервала образуют острый угол с осью ОХ, то функции возрастающая. Убыванию функции соответствует тупой угол наклона касательной к оси ОХ (рис. 3).
Определение 5.1.
Точка х0ÎD(f) называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f(x) ³ f(x0). Значение f(x0) называется минимумом функции.
Точка х0ÎD(f) называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f(x) £ f(x0). Значение f(x0) называетсямаксимумомфункции.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Если при х ¹ х0 из окрестности точки х0 выполняется строгое неравенство f(x) > f(x0) или f(x) < f(x0), то в этом случае говорят о строгом экстремуме в точке х0, в противном случае – о нестрогом. На рисунке в точках А и D строгий максимум, в точках В и С нестрогий минимум.
Может так случиться, что некоторый максимум функции f(x) окажется меньше ее минимума. Это не противоречит определению, т.к. в нем говорится об окрестности точки экстремума, т.е. о близлежащих к точке экстремума точках области определения функции. Поэтому для точек максимума и минимума используется термин «локальный» экстремум, т.е. связанный с определенным местом.
Теорема 5.7. (необходимое условие экстремума)
Если в точке х0 функция имеет экстремум, то первая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Доказательство: Пусть, для определенности, х0 – точка максимума. Тогда для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство
Dу = f(x) – f(x0) < 0
Рассмотрим односторонние производные функции в точке х0. В силу условия Dу< 0 может быть либо конечным, отрицательным числом, либо равен -¥, либо равен 0. Аналогично, либо конечное положительное число, либо +¥, либо 0. Т.е.
,
Отсюда следует, что f ¢(x0) либо не существует (т.к. f ¢(x0 +0) ¹ f ¢(x0 – 0) или бесконечные), либо f ¢(x0) = 0.
Геометрически теорема 5.7 утверждает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси ОХ, либо параллельна ОУ, либо ее вообще нельзя провести (рис. 4).
Таким образом, из теоремы следует, что точки экстремума следует искать среди точек, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками(первого рода).Точка экстремума обязательно является критической точкой, но не всякая критическая точка может быть точкой экстремума. Например, для функции у = х3 точка х = 0 – критическая, т.к.
у¢ (0) = 0,
но точкой экстремума она не является (вспомните график этой функции).
Теорема 5.8. (достаточное условие экстремума)
Пусть х0 – критическая точка непрерывной и дифференцируемой в окрестности точки х0 функции f(x) . Если при х<x0 f ¢(x) > 0, а при x>х0 f ¢(x)<0, то х0 – точка максимума функции. Если при х < x0 , а при x>х0 , то х0 – точка минимума функции.
Доказательство:
Пусть при х<x0 f ¢(x)>0, а при x>х0 f ¢(x)<0. Рассмотрим интервал (а; b) – окрестность точки х0. Поскольку при хÎ(а; b) , х<x0 выполняется условие f ¢(x)>0, то на интервале (а; х0), согласно теореме 5.6, функция возрастает, т.е. f (x)<f (x0) . А так как при x>х0 f ¢(x)<0, то на интервале (х0; b) функция убывает, значит, вновь выполняется неравенство f (x) < f (x0). А это значит, что точка х0 – точка максимума (причем, строгого). ЧТД.
Аналогично доказывается второе утверждение, касающееся точки минимума.
Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y= f(x) можно, придерживаясь следующего алгоритма:
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную f¢ (x) заданной функции.
3) Найти критические точки первого рода (точки возможного экстремума) из условия f¢ (x) = 0 или f¢ (x) не существует, хÎD(f).
4) Разбить область определения D(f) функции критическими точками на интервалы (внутри этих интервалов производная функции сохраняет знак).
5) Определить знак производной на каждом из полученных интервалов. На тех интервалах, где f¢ (x) > 0, функция возрастает, а там, где f¢ (x)< 0 – функция убывает.
6) Если при переходе через критическую точку слева направо:
· f¢ (x) меняет знак с « + » на «–» , то эта точка есть точка максимума функции;
· f¢ (x) меняет знак с « – » на « + » , то эта точка есть точка минимума функции;
· f¢ (x) не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.
Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1137;