Признаки сходимости знакопостоянных рядов.




Основные понятия и определения. Свойства рядов.

Понятие ряда возникает уже в элементарной математике в связи с задачей представления одних чисел посредством других, например, десятичных дробей или иррациональных чисел через обыкновенные дроби:

,

,

,

.

К записям подобного рода приводит и задача представления одних функций другими, более простыми (например, многочленами).

 

Рассмотрим числовую последовательность а1, а2, а3, ..., ап, .... = { аn}.

Определение 30.1.Сумма вида а1 + а2 + а3 + ...+ ап+ .... = , где ап – члены числовой последовательности, называется числовым рядом. При этом числа а1, а2, а3, ..., ап, .... называются членами ряда, апобщим или п-ным членом ряда.

Например, гармонический ряд,

2 + 4 + 8 +16 + ... + 2п... = ,

или – ряды членов геометрической прогрессии.

Символ используется для сокращенной записи ряда. При этом нумерация членов (счетчик) может начинаться с любого целого числа, например

,

а индекс членов ряда (параметр счетчика) может обозначаться любой (чаще всего латинской) буквой: , ,

Рассмотрим ряд и составим суммы

S1 = a1,

S2 = a1 + a2 ,

S3 = a1 + a2 + a3 , ... ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

– эти суммы называются соответственно 1-й, 2-й, 3-й,...,пчастичными суммами.

Определение 30. 2.Если существует конечный предел последовательности {Sn} частичных сумм ряда , то этот ряд называетсясходящимся, а число называется суммойряда. Если {Sn} не имеет предела (в частности, если этот предел бесконечный), то ряд называется расходящимся.

Рассмотрим примеры:

1) 1 + 0,1 +0,01 + 0,001 + 0,0001 +...= ,

для этого ряда

S1 = 1, S2 = 1,1 , S3 = 1,11 , S4 = 1,111 , ... , Sn = ,

значит, = 1,1(1), т.е. ряд сходится и сумма его равна .

2) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + п + ... = ,

для этого ряда S1 = 1, S2 = 3 , S3 = 6 , S4 = 10 , ... , Sn = ( сумма п членов арифметической прогрессии). Но , значит, ряд расходится.

3) Рассмотрим ряд 1+ q + q2 + q3 +... + qn +... = – ряд членов геометрической прогрессии. Его п-я частичная сумма равна Sn = . Тогда

, (1)

значит, ряд членов геометрической прогрессии сходится, если модуль знаменателя меньше 1, и расходится, если – неменьше 1.

Заметим, что рассмотренный выше ряд есть ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем , то есть выведенная закономерность подтверждает ранее установленную сходимость этого ряда.

4) Рассмотрим гармонический ряд и его частичную сумму

.

Используя неравенство х > ln(1 + x) для любого х ³ 1 (проверьте графически!), имеем

.

Тогда , значит, гармонический ряд расходится!

Определение 30.3. Ряд вида an+1 + an+2 + aп+3 +... = называется остатком ряда и обозначается Rn.

Таким образом, . Заметим, что если ряд сходится, то Rn = S – Sn, где S –сумма ряда, = S, а Snп-я частичная сумма этого ряда. Причем, для сходящегося ряда .

Рассмотрим свойства числовых рядов (доказать свойства самостоятельно).

Свойство 1. Если сходится ряд , то сходится любой его остаток и наоборот, если сходится остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Следствие 1. Если ряд расходится , то расходится любой его остаток, и наоборот, если расходится остаток, то расходится и ряд.

Следствие 2. Изменение (например, добавление или отбрасывание) конечного числа членов ряда не меняет его сходимости (расходимости)

Например, ряды и сходятся, так как первый из них есть R37 для ряда , действительно: (k = п+1 = 37+1). Второй же из указанных рядов получается также из ряда заменой суммы первых двух членов суммой . При этом, естественно, сумма каждого из заданных рядов будет отличаться от суммы ряда , которая, кстати, равна (см. Формулу (1)).

Аналогично, ряд расходится, так как получается из расходящегося гармонического ряда отбрасыванием первых 5 членов.

Свойство 2. Если ряд сходится, то для любого числа l ряд также сходится, причем, . Если ряд расходится, то для любого числа l ¹ 0 ряд также расходится.

Следствие. Общий множитель членов ряда можно выносить за знак суммы, при этом сходимость ряда не изменится.

Например, ряды и расходятся, как и гармонический ряд. Ряд сходится и сумма его равна .

Свойство 3. Если ряды и сходятся, то для любых чисел a и b ряд , причем сумма этого ряда равна a + b .

Например,

Замечание: Если "n ап>0 и bn>0 и ряды , расходятся, то для положительных a и b расходится и ряд . Если же члены рядов и имеют различные знаки, то какими бы ни были a и b, без дополнительных исследований о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Отметим еще одно важное свойство сходящегося ряда.

Теорема 30.2. (необходимое условие сходимости ряда)

Если ряд сходится, то .

Доказательство. Если сходится, то существует .

Но ап = Sn – Sn-1 , тогда .ЧТД.

 

 

Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

 

Основные вопросы, которые возникают при работе с числовым рядом:

1. Сходится ли он?

2. Если сходится, то какова его сумма?

Первый из этих вопросов можно выяснить не только по определению, но и с помощью, так называемых, признаков сходимости ряда.

Сначала рассмотрим признаки сходимости рядов, все члены которых имеют один и тот же знак, т.е. ап >0 " n или ап < 0 " n. Такие ряды называются знакопостоянными: при ап >0 " n ряд знакоположительный, при ап < 0 " n ряд знакоотрицательный. Очевидно, достаточно построить теорию исследования знакоположительных рядов, так как ряд с отрицательными членами приводится к ряду с положительными вынесением за знак суммы общего минуса, что не влияет на сходимость ряда (согласно свойству 2). Заметим также, что знакоположительный ряд всегда имеет сумму: эта сумма либо конечная (ряд сходится), либо бесконечная (расходится)

Следствие теоремы 30.2. (достаточный признак расходимости)

Если , то ряд расходится. (без доказательства)

Пример: ряд расходится, так как ,

ряд расходится, так как ,

ряд расходится, т.к. не существует.

Теорема 30.3. (I признак сравнения)

Если для рядов и выполняется условие an ³ bn ³ 0 " п>no , то

а) если сходится ряд , то сходится и ;

б) если расходится ряд , то расходится и ряд .

Пример: 1) Исследуем сходимость ряда , р£1. Рассмотрим наряду с этим рядом гармонический ряд , который, как известно, расходится. Нетрудно показать, что . Действительно, имеем при р £ 1

Последнее неравенство верно "п ³ 1, так как 1–р ³ 0 по условию. Значит, верно и исходное неравенство. Тогда все члены гармонического ряда меньше соответствующих членов заданного ряда, значит, по теореме 5.3 заданный ряд расходится.

2) Исследуем ряд . Сравним члены этого ряда с членами ряда , который, очевидно, сходится:

, так как " п cos2n £ 1.

Тогда по первому признаку сравнения, заданный ряд также сходится.

Замечание. Если для рядов и выполняется условие an ³ bn ³ 0, то говорят, что ряд мажорирует ряд .

Теорема 30.4.(II признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует , 0<p<¥, то оба ряда ведут себя одинаково , т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Например, исследуем сходимость ряда . Сравним его с рядом , который, очевидно, расходится. Вычислим

,

значит, по II признаку сравнения, заданный ряд также расходится.

Теорема 30.5. (признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует , то

при d < 1 ряд сходится,

при d > 1 ряд расходится,

при d =1 нужны дополнительные исследования.

Пример: Исследуем ряд .

Имеем , . Так как 0<1, то ряд сходится.

Теорема 30.6. (радикальный признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует , то

при K < 1 ряд сходится,

при K > 1 ряд расходится,

при K = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым – требуются дополнительные исследования.

Пример. Рассмотрим ряд .

Имеем : , , значит, ряд расходится.

Теорема 30.7. (интегральный признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует монотонная функция f(x) такая, что "п ³ 1 f(n) = ап, то

если интеграл сходится, то сходится и ряд,

а если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Пример. Рассмотрим ряд , р >1. Для функции f(x) = , х ³ 1 выполняется условие теоремы 1.7: . Исследуем сходимость интеграла

(т.к. р> 1, 1–р<0). Значит, ряд сходится.

Замечание. Ряд называется обобщенным гармоническим рядом(или рядом Дирихле). Учитывая полученный ранее результат и проведенное сейчас исследование, можно сделать вывод:

обобщенный гармонический ряд сходится при р>1 и расходится при р £ 1.

Таким образом, вопрос о сходимости числового ряда можно выяснить с помощью достаточных признаков сходимости. Если же ряд сходится, приближенно значение его суммы можно найти, вычислив сумму нескольких первых членов этого ряда, т.е. найдя частичную сумму ряда. При этом точность таких вычислений определяется величиной остатка ряда:

S = Sn + Rn, Rn = S – Sn, | Rn | = |S – Sn| < e, è S = Sn ± e.

 






Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1054; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.061 сек.