Основные определения и свойства жидкости. Модели жидкости

Гидравлика – раздел механики, изучающий законы равновесия и движения жидкости, а также методы практического применения этих законов.

Законы гидравлики используются при проектировании и строительстве гидротехнических сооружений, гидравлических транспортных систем, гидравлических машин и автоматов.

Основные свойства жидкости

Жидкость в гидравлике, несмотря на молекулярное строение, рассматривается как сплошная среда, непрерывно заполняющая занимаемый объем ( в 0,001 куб. см. насчитывается 3*10^3 молекул воды). Использование модели сплошной среды при решении задач гидравлики правомерно и подтверждается практикой использования ее законов.

Физические свойства жидкости характеризуются многими параметрами, важнейшими из которых являются:

- плотность;

- сжимаемость;

- температурное расширение;

- вязкость;

- способность растворять газы;

- капиллярность;

- теплоемкость;

- теплопроводность.

Для однородной жидкости плотность определяется как масса единицы объема

, (1)

а, в общем случае, по определению

. (2)

Размерность плотности [кГ/м^3].

Плотность зависит от температуры и, в меньшей степени, от давления. Приведем зависимость плотности воды от температуры ρ=ρ(t).

Табл.1

Зависимость плотности воды от температуры

	999,87		999,50		995,76		997,94
	999,99		999,15		992,35		971,94
	1000,00		998,26		988,20		965,56
	999,99		997,12		983,38		958,65

Плотность различных жидкостей отличается от плотности воды весьма существенно. Средние значения плотности некоторых жидкостей при температуре имеют следующие значения:

вода

керосин

ртуть

Сжимаемость – это свойство жидкости изменять объем при изменении давления. Характеризуется сжимаемость жидкости коэффициентом объемного сжатия, который определяет величину относительного изменения объема при изменении давления на единицу

.

(3)

Для однородной жидкости коэффициент сжимаемости можно определить через плотность. Из формулы (1) следует

(4)

или

.

(5)

Из формул (2) и(5) получаем

.

(6)

Т.е. коэффициент объемного сжатия определяется как относительное изменение плотности при изменении давления на единицу. Размерность коэффициента объемного сжатия .

Величина обратная называется модулем объемной упругости жидкости

.

(7)

Модуль объемной упругости зависит от температуры и давления. Для воды можно привести следующие цифры:

- при ;

- при

- при

Относительное изменение объема при изменении давления на одну атмосферу и температуре составляет

,

что указывает на незначительную сжимаемость воды. В большинстве гидравлических расчетов сжимаемость жидкости в расчет не принимают.

Модуль объемной упругости некоторых жидкостей при температуре имеет следующие значения:

вода

керосин

ртуть

глицерин .

Однако при изучении явлений гидравлического удара в трубах сжимаемость жидкости является одним из важных обстоятельств, объясняющих это явление.

Температурное расширение – это свойство жидкости изменять объем при изменении температуры. Характеризуется температурное расширение температурным коэффициентом объемного расширения

,

Для большинства жидкостей коэффициент с увеличением давления уменьшается, а для воды – увеличивается до температуры . Повышение температуры приводит к увеличению коэффициента . В табл. приведены данные об изменении коэффициента для воды от температуры и давления

Табл.

Температурный коэффициент объемного расширения для воды

Давление	Температура
4-10	10-20	40-50	60-70	90-100
0,1	0,000140	0,000150	0,000422	0,000556	0,000719
10,0	0,000143	0,000165	0,000422	0,000548	-
50,0	0,000149	0,000236	0,000429	0,000523	0,000523

Температурный коэффициент объемного расширения некоторых жидкостей при температуре и давлении 0,1 МПа имеет следующие значения:

вода

керосин

ртуть

глицерин .

В пределах обычно встречающихся на практике изменений давлений и температур с точностью, вполне достаточной для большинства инженерных расчетов, температурным расширением жидкости пренебрегают.

Вязкость – это свойство жидкости оказывать сопротивление сдвигу одного слоя относительно других.

Сопротивление сдвигу одного слоя жидкости относительно другого объясняется наличием сил внутреннего трения, интенсивность которых на единице площади пропорциональна изменению скорости движения жидкости по нормали к общему направлению движения потока (рис. 1.1)

рис. 1.1

, т.к.

(8)

Коэффициент μ в формуле (8) называют динамической вязкостью жидкости. Измеряется динамическая вязкость в [Па۰с].

Значительно чаще в гидравлических расчетах используется другая характеристика вязкости – кинематическая вязкость, единицей измерения которой является [1 м^2/с] (ранее использовалась единица измерения кинематической вязкости 1 Стокс; 1 м^2/с=10^4 Ст)

.

(9)

Измеряется вязкость жидкости вискозиметрами, принцип действия и конструкция которых различны. Вязкость зависит от температуры и давления. Однако зависимость от давления проявляется при давлениях порядка нескольких десятков МПа и в большинстве технических расчетов во внимание не принимается. Вязкость при повышении температуры падает, а при повышении давления увеличивается

	(10)

где μ_оp , μ_op – динамическая вязкость при известной температуре и известном давлении,

μ_t , μ_p – динамическая вязкость при давлении p и температуре t,

Растворение газов – это способность жидкости поглощать газы, находящиеся в соприкосновении с ней. Это свойство характеризуется коэффициентом растворимости , который определяется отношением объема растворенного газа , приведенного к нормальным условиям ( ), к объему жидкости , поглотившей газ

,

Объем газа, который может раствориться в жидкости до ее полного насыщения газом, определяется зависимостью

,

где – начальное и конечное давление газа, соответственно, находящегося в закрытом сосуде с жидкостью.

Коэффициент растворимости зависит от свойств жидкости и газа, температуры и давления. При повышении температуры растворимость незначительно снижается, а при повышении давления возрастает по линейному закону.

Растворимость воздуха при температуре и давлении в некотрых жидкостях характеризуется следующими значениями коэффициента растворимости:

вода 0,016;

масло индустриальное 0,075;

керосин 0,127;

бензин 0,220.

При снижении давления газ из жидкости выделяется.

Модели жидкости

При теоретическом изучении закономерностей течения невозможно учесть все многообразие свойств жидкости. Поэтому при формировании теоретической модели жидкости принимают во внимание наиболее существенные ее свойства. Учет различных свойств жидкости приводит к разным моделям:

- идеальная несжимаемая жидкость – это сплошная несжимаемая среда, непрерывно заполняющая занимаемый объем, имеющая постоянную плотность и лишенная вязкости

;

- идеальная сжимаемая жидкость – это сжимаемая сплошная среда, непрерывно заполняющая занимаемый объем и лишенная вязкости ;

- вязкая несжимаемая жидкость – это сплошная несжимаемая среда, непрерывно заполняющая занимаемый объем, имеющая постоянную плотность и обладающая вязкостью

;

- вязкая сжимаемая жидкость – это сжимаемая сплошная среда, непрерывно заполняющая занимаемый объем и обладающая вязкостью ;

- молекулярная жидкость – это модель, учитывающая реальное строение жидкости.

Лекция 2.

Гидростатика. Основное уравнение гидростатики

Гидростатика – раздел гидравлики, изучающий законы равновесия неподвижной жидкости, находящейся под воздействием внешних сил.

Под воздействием внешних сил части рассматриваемого объема жидкости взаимодействуют друг с другом. Эти силы являются внутренними силами.

В идеальной жидкости эти силы направлены по нормали к поверхности раздела и направлены в сторону противоположную внешней нормали, т.к. жидкость практически не сопротивляется растяжению и, как сплошная среда, может работать только на сжатие. Интенсивность этих сил характеризуется величиной нормального напряжения, которое в гидравлике называется давлением

Рис. 2.1	. (2.1) Внешние силы подразделяют на силы поверхностные и объемные. К поверхностным силам относятся силы взаимодействия жидкости со стенками резервуара, ограничивающими занимаемый объем, и силы атмосферного давления на свободной поверхности. Объемные силы – это, прежде всего, силы тяжести и иные физические силы, распределенные по объему, занимаемому жидкостью. Для характеристики массовых сил вводят интенсивность массовых сил, как силу, приходящуюся на единицу массы. Составляющие интенсивности массовых сил по координатным осям определяют выражениями
	(2.2)

Гидростатическое давление

Давление на выделенной в жидкости площадке нормально к ней. Рассмотрим равновесие элементарного объема жидкости в форме прямоугольного тетраэдра с размерами ребер dx, dy, dz (рис.2.2). На гранях перпендикулярных осям xyz внутренние силы характеризуются давлениями p_x, p_y, p_z.. На грани с нормалью n действует давление p_n. Условия уравновешенности сил, приложенных к тетраэдру, имеют вид

рис. 2.2

В формулах (8): Аx, Аy, Аz, Аn – площади граней, перпендикулярных направлениям x, y, z, n; α, β, γ – углы нормали n с осями x, y, z соответственно; dm – масса жидкости в объеме тетраэдра; X, Y, Z – интенсивность массовых сил.

(2.3)

Т.к. , то при из формул (2.3) получаем:

(2.4)

Следовательно, давление в рассматриваемой точке покоящейся жидкости не зависит от пространственной ориентации площадки и называется гидростатическим давлением.

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Для вывода этих уравнений рассмотрим равновесие элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, выделенного в произвольном объеме жидкости. Отбросив жидкость окружающую выделенный объем, заменим ее действие давлением, которое будет, в общем случае, изменяться при переходе от одной грани к другой (рис.2.3)

Рис. 2.3

Силы действующие на элементарный параллелепипед удовлетворяют условиям уравновешенности (2.5), из которых следуют уравнения Эйлера (2.6).

(2.5)

(2.6)

Умножив формулы (2.6) – первую на dx, вторую на dy, третью на dz, после сложения получим

(2.7)

Если массовые силы потенциальны, то

(2.8)

Тогда уравнение (2.7) принимает вид

,

(2.9)

или

,

(2.10)

где U – силовая функция;

П – потенциальная энергия поля массовых сил.

Следует отметить, что p=p(x, y, z), U=U(x, y, z), П=П(x, y, z) -- функции только координат точек, в которых эти функции определяются.

Интегрируя уравнение (2.10), получим

или ,

(2.11)

где С – постоянная интегрирования.

Записав (2.11) для двух различных точек рассматриваемого объема жидкости, получим следующее уравнение

.

(2.12)

Из (2.12) следует, что поверхности постоянного давления -- p=const, это поверхности

Различные значения константы соответствуют разным поверхностям постоянного давления. Давление нормально поверхности равного давления, а так как оно уравновешивается массовыми силами, то и они в покоящейся жидкости ориентированы по нормали к этой поверхности (рис.2.4).

Рис. 2.4

Свободная поверхность жидкости, т.е. поверхность граничащая с газовой средой, также является одной из поверхностей равного давления. Если жидкость находится в равновесии под действием только поля силы тяжести (ее напрвление совпадает с вертикалью), то поверхности постоянного давления представляют семейство горизонтальных плоскостей.

Основной закон гидростатики

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в сосуде, неподвижном относительно Земли. Для этого случая массовой силой, действующей на жидкость, является сила тяжести G=m·g параллельная оси z. Тогда составляющие интенсивности массовых сил равны

(2.13)

Подставляя (2.13) в уравнения (), получим

.

(2.14)

Интегрируя уравнение (2.14) в предположении ρ=const, получаем

,

или

.

(2.15)

Разделив обе части уравнения (2.15) на ρ·g, получим

.

(2.16)

Для двух точек одного и того же объема покоящейся жидкости уравнение (2.16) представляется в следующем виде

.

(2.17)

Уравнение (1.17) выражает гидростатический закон распределения давления в однородной несжимаемой жидкости, покоящейся относительно Земли. Обычно уравнение (2.17) называют основным законом гидростатики.

Часто основной закон гидростатики записывают в иной форме, используя глубину погружения h точки рассматриваемого объема жидкости (рис.2.5). Определим давление в точке А покоящейся жидкости, расположенной на глубине h от свободной поверхности, где действует давление p_о. Свободная поверхность имеет координату z_о, а точка А – z. Плотность жидкости ρ. Из формулы (2.15) при z=z_o находим и формула (2.15) принимает вид

(2.18)

Анализируя формулу (2.18) можно сделать следующие выводы:

- для любой точки жидкости величина давления p_о на граничной поверхности входит как постоянная составляющая, что позволяет сформулировать закон Паскаля – давление, приложенное к граничной поверхности покоящейся жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково; закон Паскаля – основной закон, поясняющий работу объемного гидропривода, применяемого в большинстве гидравлических систем технологических машин;

Рис. 2.5

- на равной глубине в покоящейся или равномерно движущейся жидкости давление одинаково, что указывает на то, что в этом случае поверхности постоянного давления горизонтальны; существование поверхностей равного давления позволяет измерять давление в любой точке жидкости.

Избыточное и вакуумметрическое давление

При измерении давления в точках покоящейся жидкости, на свободной поверхности которой действует атмосферное давление, необходимо различать два случая: измеряемое давление превышает атмосферное и измеряемое давление меньше атмосферного.

В первом случае говорят о наличии избыточного давления, а во втором определяют вакуумметрическое давление. Если измеряемое давление обозначить ,то

,	(2.19)
,	(2.20)

где - пьезометрическая высота;

- вакуумметрическая высота;

Рис.2.6	Очевидными являются следующие формулы ; .	(2.21)   (2.22)
Графическое пояснение представлено на рис.2.6. Абсолютное давление в точке А больше атмосферного, а в точке В меньше атмосферного. Способ измерения давления, представленный на рис. 2.6, использует пьезометрические трубки, высота подъема жидкости в которых определяется разностью измеряемого и атмосферного давлений.

Кроме пьезометрических трубок для измерения давления используют специальные приборы – манометры, для измерения , и вакуумметры, для измерения .

Приборы для измерения давления

Приборы для измерения давления весьма разнообразны. Они классифицируются по различным признакам.

По принципу действия различают приборы жидкостные, пружинные, электрические, комбинированные.

К жидкостным относятся приборы, принцип действия которых базируется на основном законе гидростатики. В этих приборах измеряемое давление уравновешивается давлением, создаваемым силой тяжести столба жидкости, высота которого и служит мерой давления.

Действие пружинных манометров основано на законе Гука. Сила, пропорциональная измеряемому давлению, деформирует упругий элемент прибора (пружину, полую трубку, мембрану, сильфон). Деформация упругого элемента пропорциональна давлению и служит его мерой.

Действие электрических приборов основано на связи между давлением и изменением какого либо электрического параметра измерительной схемы (омического сопротивления, емкости, индуктивности).

К комбинированным приборам относятся приборы, принцип действия которых носит смешанный характер (электромеханические приборы).

На рис.2.7 показана схема U-образного жидкостного манометра, представляющего стеклянную трубку 1, заполненную до некоторого уровня рабочей жидкостью с плотностью (обычно это вода, спирт, ртуть). Одна ветвь манометра соединятся с местом измерения давления (точка А) через трехходовой кран, другая ветвь открыта в атмосферу.

Рис.2.7

Рис. 2.8

Если давление p_ми на уровне рабочей жидкости в левой ветви манометра больше атмосферного, то жидкость в правой ветви поднимается, преодолевая действие силы атмосферного давления. Разность высот уровней рабочей жидкости в ветвях манометрической трубки и является показанием прибора. Для отсчета показаний прибор снабжен шкалой.

Избыточное давление p_ми на уровне рабочей жидкости в левой ветви

,

(2.23)

где ρ_р – плотность рабочей жидкости.

Избыточное давление в точке А, измеряемое манометром

,

(2.24)

где -- плотность жидкости, заполняющей сосуд и левую ветвь трубки;

-- разность уровней точки А и рабочей жидкости в левой ветви прибора.

Пьезометрическая высота, соответствующая избыточному давлению в точке А

.

(2.25)

Недостатком прибора является необходимость наблюдения одновременно за двумя уровнями жидкости и вычисления в каждом опыте переменной поправки . К недостаткам жидкостных манометров следует отнести узость диапазона измеряемых давлений ( 0,4 МПа для ртутных манометров), большие размеры и хрупкость стеклянных трубок.

Схема мембранного манометра представлена на рис. 2.8. Упругим элементом прибора является тонкая гофрированная пластинка 1, закрепленная между фланцами корпуса 2 и разделяющая его объем на две полости. Одна полость сообщается с атмосферой, а вторая подсоединяется к точке измерения давления. Деформация мембраны, пропорциональная разности , передается на механизм, поворачивающий стрелку 3 указателя прибора, на шкале которого и регистрируется величина или . Максимальное измеряемое давление, как правило, не превышает 2,5 МПа.

Для расширения диапазона измеряемого давления в качестве чувствительного элемента используют трубчатую пружину. В зависимости от материала, формы и размеров трубки шкала прибора может иметь пределы измерения от 0.05 до 1000 МПа. Схема прибора изображена на рисю2.9, где обозначены: 1 – трубчатая пружина; 2 – передаточный механизм; 3 – шкала измерителя.

Рис.2.9

При использовании электронных измерителей давления деформации или перемещения чувствительного элемента преобразуются в электрический сигнал пропорциональный величине давления, который после обработки цифровым преобразователем можно передавать на большое расстояние для обработки на ЭВМ или для отображения на цифровом индикаторе.

Лекция 3

Давление покоящейся жидкости на плоские и криволинейные стенки

Проектирование гидравлических систем различного назначения, обеспечение прочности и жесткости резервуаров для хранения жидкости и сосудов , работающих под давлением, решение задач, возникающих при проектировании гидротехнических сооружений требуют определения сил воздействия жидкости на твердые стенки, ограничивающие занимаемый объем. Рассмотрим несколько типовых задач по определению сил давления на стенки резервуаров, как наиболее часто встречающиеся при проектировании гидравлических машин, аппаратов и арматуры.

Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в резервуаре с плоскими стенками, на свободную поверхность которой действует давление (рис.3.1). На правой боковой стенке выделим площадь , равнодействующую сил давления на которой и определим.

Система декартовых прямоугольных координат имеет оси y,z в плоскости правой стенки; ось x перпендикулярна им. Часть стенки площадью А показана в проекции на плоскость yz. Начало координат находится на линии уреза воды.

Рис. 3.1	На площадке dA давление не изменяется; равнодействующая сил давления равна . На выделенной площади А стенки равнодействующая системы параллельных сил определяется интегралом . Т.к. получаем
	(3.1)

Очевидно, что , тогда из (3.1) следует

,

(3.2)

Где - это статический момент рассматриваемой площади стенки относительно оси z. Т.к. при известном положении центра площади А по оси y (точка С с координатой на рис. 3.1)

,

(3.3)

то из (3.2) с учетом (3.3) получаем

,

(3.4)

где

глубина погружения центра площади А;

абсолютное давление в точке, совпадающей с центром площади А.

Следует, однако, обратить внимание на то, что точка приложения равнодействующей сил давления F -- центр давления D -- не совпадает с центром площади А. Для определения координаты центра давления D, воспользуемся условием статической эквивалентности распределенных сил давления p и их равнодействующей F: сумма моментов давления и равнодействующей F относительно оси z равны

,

(3.5)

откуда с учетом (3.4) находим

(3.6)

Если определять координату точки приложения равнодействующей избыточного давления

,

(3.7)

то из равенства моментов и относительно оси z получим значение координаты точки приложения силы

.

(3.8)

Если пьезометрическая составляющая давления существенно ниже давления , то из (3.6) следует

.

(3.9)

В гидравлических расчетах при 10 можно с высокой точностью считать, что центр давления (точка D) совпадает с центром площади А – точкой С.

Сила давления покоящейся жидкости на цилиндрическую стенку

Определение сил давления на цилиндрические стенки имеет важное значение, так как в гидротехнических сооружениях часто используют конструкции с такими поверхностями (водонапорные баки, вальцовые, секторные и сегментные затворы).

Рассмотрим цилиндрическую стенку, находящуюся под односторонним воздействием покоящейся жидкости и определим равнодействующую сил избыточного давления (рис.3.2).

На площадке , расположенной на глубине , избыточное давление имеет равнодействующую . Очевидно, что , . Зная, что , находим составляющие равнодействующей сил избыточного давления:

(3.10)

	(3.11)
Рис.3.2

Анализируя формулы (3.10) и(3.11), можно дать геометрическую интерпретацию полученных результатов (рис.3.3). Составляющая сил избыточного давления равна весу жидкости в объеме призмы длиной d и гранями на торцах , а составляющая равна весу жидкости в объеме, ограниченном свободной поверхностью, цилиндрической поверхностью, воспринимающей давление и торцевыми поверхностями площадью .

Линию действия равнодействующей сил избыточного давления можно найти, если установить линии действия составляющих . Эти линии определяются координатами соответственно (рис.3.4), которые определяются из условий равенства моментов относительно оси x от , :

а)	б)
Рис.3.3

	(3.12)
	(3.13)

Координаты , находим из (3.10) и (3.12), (3.11) и (3.13), соответственно:

	(3.14)
	(3.15)

Интересно проследить влияние величины заглубления цилиндрической поверхности на линии действия составляющих равнодействующей сил давления. Расчет по формулам (3.14) и (3.15) дает следующие результаты

		0,775R	0,333R	23,3
	R	0,549R	0,444R	39,0		(3.16)
	10R	0,506R	0,492R	44,2
	100R	0,501R	0,499R	44,9

Анализ показывает, что при увеличении заглублении цилиндрической поверхности линия действия равнодействующей стремится пройти через точку с координатами (0,5d; -0,5R; 0,5R), а угол ее наклона к свободной поверхности жидкости приближается к (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Лекция 4

Равновесие жидкости в движущемся сосуде

Эти задачи представляют интерес при определении нагрузок на стенки сосуда, движущегося поступательно и прямолинейно или вращающегося с постоянной угловой скоростью, когда модуль ускорения каждой ча