УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСИИ

Элементарная теория дисперсии

Мы получили связь групповой и фазовой скорости

(14.1)

Из этого условия следует, что может происходить «расползание» волнового пакета и формула 14.1 , полученная для малых изменений волнового числа, становится неточной и понятие групповой скорости теряет смысл. Но и в таких условиях скорость передачи сигнала не превышает скорости света в вакууме. Для иллюстрации этого фундаментального положения приведем следующую схему явления. Пусть среду, в которой распространяется исследуемый волновой пакет (импульс), составляют элементарные осцилляторы (атомы), произвольно распределенные в вакууме. Когда передний край импульса (распространяющийся со скоростью с) дойдет до какого-либо атома среды, он раскачает его осциллирующий электрон и последний начнет излучать. Но этот процесс неизбежно должен характеризоваться какой-то инерционностью. Возникшее излучение, которое также движется со скоростью с (атомы находятся в пустоте), внесет свой вклад структуру волнового пакета, но не может повлиять на скорость распространения его переднего края (фронта волны) — она по-прежнему будет равна скорости света в вакууме и не зависит от того, что происходит с импульсом.

УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСИИ

Сложная задача взаимодействия электромагнитного поля с веществом может решаться как методами классической, так и квантовой физики. Следует учитывать, что при использовании гармонического осциллятора в качестве модели излучающего атома результаты квантовой и классической теории дисперсии полностью совпадают. В последующем изложении, проводимом в приближении классической физики, фактически использована модель Томсона — атом как гармонический осциллятор с частотой собственных колебаний w₀. Идея расчета, впервые проведенного Лоренцем, предельно проста: для получения зависимости показателя преломления какого-либо вещества от частоты падающего на него света нужно найти вектор поляризации этого вещества Р, создаваемый полем световой волны Е. Затем вычисляют вектор электростатической индукции

(14.2)

и определяют диэлектрическую проницаемость вещества , Используя основное соотношение электромагнитной теории света зависимость показателя преломления от частоты падающего света получают зависимость . Таким образом, изменение n в зависимости от w обусловливается суперпозицией первичной световой волны и всех вызванных ею вторичных волн в исследуемом веществе, свойства которого должны существенно влиять на ход показателя преломления n (w). Важно понять, что в данном случае первичная волна не заменяется суммой вторичных волн (как это делается при истолковании явления дифракции) а взаимодействует с ними. Уточним постановку задачи: пусть в единице объема имеется N хаотически расположенных эквивалентных атомов исследуемого вещества. Будем считать, что в каждом атоме имеется один оптический электрон с зарядом q. Электрическое поле световой волны воздействует на такой электрон с силой qE (вынуждающая сила).

Не будем пока учитывать действия на данный электрон поля, создаваемого всеми другими электронами. Это пренебрежение справедливо при малой плотности изучаемого вещества. В дальнейшем будет показано, как видоизменяются формулы при учете взаимодействия электрических зарядов

Электрон удерживается в атоме квазиупругой силой fr, которая, как мы видим, пропорциональна смещению электрона г, возникающему под действием поля световой волны. Масса электрона m и коэффициент квазиупругой связи f определяют частоту собственных колебаний гармонического осциллятора w₀. Связь между ними записывается в виде /

Будем считать, что все гармонические осцилляторы идентичны, т е. имеют одну собственную частоту колебания w₀. Заметим, что исходные положения излагаемой теории пригодны не только для описания колебаний оптических электронов, но их можно использовать для учета вынужденных колебаний ионов с частотами В этом случае в кубе с ребром порядка длины световой волны даже при очень малой плотности вещества содержится громадное количество излучающих атомов, которые, как мы условились, не влияют друг на друга, и можно положить, что поляризация вещества в поле световой волны определяется соотношением Р = Nqr.

Таким образом, можно считать выясненным вопрос о необходимости введения в уравнение движения осциллирующего электрона вынуждающей и квазиупругой сил. Теперь уточним их знаки.

Квазиупругая сила всегда имеет знак обратный направлению смещения, т. е. равна –fr. Знак вынуждающей силы qЕ, так же как и поляризация среды, зависит от знака электрического заряда. Выше поляризация среды была определена выражением Р = Nqr. Поэтому введем в уравнение движения вынуждающую силу +qE что будет годиться для описания движения как положительного, так и отрицательного заряда.

Необходимо разобраться еще в одном вопросе: как учесть неизбежное затухание колебаний осциллятора? Физические причины, приводящие к затуханию излучения и связанному с ним уширению спектральной линии, будут подробно обсуждены ниже. Они сводятся к потере энергии вследствие излучения, к столкновениям, тушащим колебания осцилляторов, и к хаотическому тепловому движению атомов (эффект Доплера). При феноменологическом описании можно объединить все эти разнородные процессы, вводя убывающую во времени амплитуду затухающей волны. При составлении уравнения движения осциллирующего электрона для учета затухания нужно ввести какую-то тормозящую силу. Запишем ее в виде —gr, где g — некий коэффициент; частное от его деления на массу электрона обозначают g и называют коэффициентом затухания.

В теории колебаний доказывается, что тормозящая сила пропорциональна скорости движения в том случае, когда затухание относительно мало и в незначительной степени искажает собственные колебания системы. Простые оценки показывают, что в данной задаче такое приближение законно. Упоминавшиеся выше причины (столкновения, тепловое движение) могут в 10—100 раз уширить линию излучения, но и при этом в полной мере сохраняется основной результат — в течение одного периода атом теряет очень малую часть накопленной энергии, и, следовательно, введение такой тормозящей силы в уравнение движения остается вполне законным.

Итак, дифференциальное уравнение движения осциллирующего электрона имеет вид

(14.3)

Напомним, что g/m =g и .Перегруппировав члены , найдем

(14.4)

Будем исходить из того, что напряженность электрического поля изменяется по закону Е=Е_оcos(wt+j) и предполагая, что трение минимально, т.е. g=0, решение этого уравнения следует искать в виде

, где

Найдем значение вектора поляризации

и подставим в 14.2

(14.5)

сократив в уравнении (14.5) слева и справа и учтя, что , получаем

(14.6)

Уравнение (14.6) показывает, что дисперсия создается в результате колебаний электронов.

Проанализируем уравнение (14.6).

При частотах w, заметно отличающихся от собственной частоты колебаний электронов w₀ . Вблизи собственных частот функция 14.6 терпит разрыв: при стремлении w к w₀ c слева она обращается в +¥, при стремлении справа — в —¥ (см. пунктирные кривые на рис. 4.3). Такое поведение функции (14.6) обусловлено тем, что мы пренебрегли трением излучения (напомним, что при пренебрежении трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе обращается в бесконечность). Учет трения излучения приводит к зависимости n² от w, показанной на рис. 144.1 сплошной кривой.

Перейдя от к n и от w к l_о, получим кривую, изображенную на рис. 144.2 (дан лишь участок кривой в области одной из резонансных длин волн). Пунктирная кривая на этом рисунке изображает ход коэффициента поглощения света веществом. Участок 3—4 аналогичен кривой, приведенной на рис. 142.1. Участки 1—2 и 3—4 соответствуют нормальной дисперсии (dn/dl_о <.0). На участке 2—3 дисперсия аномальна (dn/dl_о >0).

В области 1—2 показатель преломления меньше единицы, следовательно, фазовая скорость волны превышает с. Это обстоятельство не противоречит теории относительности, основывающейся на утверждении, что скорость передачи сигнала не может превзойти с. В предыдущем параграфе мы выяснили, что передать сигнал с помощью идеально монохроматической волны невозможно. Передача же энергии (т. е. сигнала) с помощью не вполне монохроматической волны (группы волн) осуществляется со скоростью, равной групповой скорости. В области нормальной дисперсии du/dl>0 (dn и du имеют разные знаки, a dn/dl<0), так что, хотя u>c, групповая скорость оказывается меньше с.

В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл (поглощение очень велико). Поэтому вычисленное по значение и не будет характеризовать скорости передачи энергии. Соответствующий расчет дает и в этой области для скорости передачи энергии значение, меньшее с.

Дисперсия возникает в результате интерференции первичной и вторичной волн. Поэтому передний фронт светового импульса распространяется в среде со скоростью света в вакууме, поскольку вторичные волны не могут его догнать. Эта часть .импульса' прибывает первой. Ее амплитуда мала. Затем прибывает вторая часть импульса, имеющая более значительную амплитуду и продолжительность. Затем прибывает основной сигнал. Ясно, что скорость сигнала не является точно определенным понятием, поскольку за сигнал можно было бы принять часть импульса, прибывающей в точку приема первой. Обычно, говоря о скорости сигнала, имеют в виду групповую скорость на частоте, соответствующей максимальной амплитуде в сигнале. Однако при достаточной чувствительности детектора за скорость сигнала можно было бы принять скорость предшественников основного сигнала. В этом случае скорость сигнала может быть сколь угодно близкой к скорости света в вакууме, хотя сигнал и распространяется в среде.

Поглощение света

При прохождении световой волны через вещество часть энергии волны затрачивается на возбуждение колебаний электронов. Частично эта энергия вновь возвращается излучению в виде вторичных волн, порождаемых электронами; частично же она переходит в энергию движения атомов, т. е. во внутреннюю энергию вещества. Поэтому интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается — свет поглощается в веществе. Вынужденные колебания электронов, а следовательно, и поглощение света становятся особенно интенсивными при резонансной частоте (см. изображенную пунктиром кривую поглощения на рис. 144.2). Опыт показывает, что интенсивность света при прохождении через вещество убывает по экспоненциальному закону:

14.7

Здесь I₀ — интенсивность света на входе в поглощающий слой (на границе или в каком-то месте внутри вещества), l— толщина слоя, c — постоянная, зависящая от свойств поглощающего вещества и называемая коэффициентом поглощения. Соотношение 14.7 носит название закона Бугера.

Из формулы 14.7 вытекает, что при интенсивность I оказывается в е раз меньше, чем I₀. Таким образом, коэффициент поглощения есть величина, обратная толщине слоя, при прохождении которого интенсивность света убывает в е раз. Коэффициент поглощения зависит от длины волны светаl, (или частоты w). У вещества, атомы (или молекулы) которого практически не воздействуют друг на друга (газы и пары металлов при невысоком давлении), коэффициент поглощения для большинства длин волн близок к нулю и лишь для очень узких спектральных областей (шириной в несколько сотых ангстрема) обнаруживает резкие максимумы (рис. 145.1). Эти максимумы соответствуют резонансным частотам колебаний электронов внутри атомов. В случае многоатомных молекул обнаруживаются также частоты, соответствующие колебаниям атомов внутри молекул. Поскольку массы атомов в десятки тысяч раз больше массы электрона, молекулярные частоты бывают намного меньше атомных — они попадают в инфракрасную область спектра.

Газы при высоких давлениях, а также жидкости и твердые тела дают широкие полосы поглощения (рис. 145.2). По мере повышения давления газов максимумы поглощения, первоначально очень узкие (см. рис. 145.1), все более расширяются, и при высоких давлениях спектр поглощения газов приближается к спектрам поглощения жидкостей. Этот факт указывает на то, что расширение полос поглощения есть результат взаимодействия атомов друг с другом.

Металлы практически непрозрачны для света (коэффициент c для них имеет значение порядка 10⁶ м^-1; для сравнения укажем, что для стекла c «1 м^-1). Это обусловлено наличием в металлах свободных электронов. Под действием электрического поля световой волны свободные электроны приходят в движение — в металле возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением ленц-джоулева тепла. В результате энергия световой волны быстро убывает, превращаясь во внутреннюю энергию металла.

Рассеяние света

С классической точки зрения процесс рассеяния света заключается в том, что свет, проходящий через вещество, вызывает колебания электронов в атомах. Колеблющиеся электроны возбуждают вторичные волны, распространяющиеся по всем направлениям. Это явление, казалось бы, должно при всех условиях приводить к рассеянию света. Однако вторичные волны являются когерентными, так что необходимо учесть их взаимную интерференцию. Соответствующий расчет дает, что в случае однородной среды вторичные волны полностью гасят друг друга во всех направлениях, кроме направления распространения первичной волны. Поэтому перераспределения света по направлениям, т. е. рассеяния света, не происходит.

Вторичные волны не погашают друг друга в боковых направлениях только при распространении света в неоднородной среде. Световые волны, дифрагируя на неоднородностях среды, дают дифракционную картину, характеризующуюся довольно равномерным распределением интенсивности по всем направлениям. Такую дифракцию на мелких неоднородностях называют рассеянием света.

Среды с явно выраженной оптической неоднородностью носят название мутных сред. К их числу относятся: 1) дымы - взвеси в газах мельчайших твердых частиц; 2) туманы - взвеси в газах мельчайших капелек жидкости; 3) взвеси или суспензии, образованные плавающими в жидкости твердыми частичками; 4) эмульсии, т. е. взвеси мельчайших капелек одной жидкости в другой жидкости, не растворяющей первую (примером эмульсии может служить молоко, представляющее собой взвесь капелек жира в воде); 5) твердые тела вроде перламутра, опалов, молочных стекол и т. п.

Свет, рассеянный на частицах, размеры которых значительно меньше длины световой волны, оказывается частично поляризованным. Это объясняется тем, что колебания электронов, вызванные рассеиваемым световым пучком, происходят в плоскости, перпендикулярной к пучку (рис. 146.1). Колебания вектора Е во вторичной волне происходят в плоскости, проходящей через направление колебаний зарядов (см. рис. 109.2). Поэтому свет, рассеиваемый частицами, в направлениях перпендикулярных пучку, будет полностью поляризован. В направлениях, образующих с пучком угол, отличный от прямого угла, рассеянный свет поляризован частично.

В результате рассеяния света в боковых направлениях интенсивность в направлении распространения убывает быстрее, чем в случае одного лишь поглощения. Поэтому для мутного вещества в выражении 14.7 наряду с коэффициентом поглощения и, должен стоять добавочный коэффициент обусловленный рассеянием:

(14.8)

Постоянная х' называется коэффициентом экстинкции. Если размеры неоднородностей малы по сравнению с длиной световой волны (не более ~0,1l) интенсивность рассеянного света I оказывается пропорциональной четвертой степени частоты или обратно пропорциональной четвертой степени длины волны:

(14.9)

Эта зависимость носит название закона Рэлея. Ее происхождение легко понять, если учесть, что мощность излучения колеблющегося заряда пропорциональна четвертой степени частоты и, следовательно, обратно пропорциональна четвертой степени длины волны:

,тогда , , ;

, отсюда

Проявление закономерности 14.9 легко наблюдать, пропуская пучок белого света через сосуд с мутной жидкостью (рис. 146.2). Вследствие рассеяния след пучка в жидкости хорошо виден сбоку, причем, поскольку короткие световые волны рассеиваются гораздо сильнее длинных, этот след представляется голубоватым. Прошедший через жидкость пучок оказывается обогащенным длинноволновым излучением и образует на экране Э не белое, а красновато желтое пятно. Поставив на входе пучка в сосуд поляризатор Р, мы обнаружим, что интенсивность рассеянного света в различных направлениях, перпендикулярных к первичному пучку, не одинакова. Направленность излучения диполя приводит к тому, что в направлениях, совпадающих с плоскостью колебаний первичного пучка, интенсивность рассеянного света практически равна нулю, в направлениях же, перпендикулярных к плоскости колебаний, интенсивность рассеянного света максимальна. Поворачивая поляризатор вокруг направления первичного пучка, мы будем наблюдать попеременное усиление и ослабление света, рассеивающегося в данном направлении.

Если размеры неоднородностей сравнимы с длиной волны, электроны, находящиеся в различных местах неоднородности, колеблются с заметным сдвигом по фазе. Это обстоятельство усложняет явление и приводит к другим закономерностям— интенсивность рассеянного света становится пропорциональной всего лишь квадрату частоты (обратно пропорциональной квадрату длины волны.

Даже тщательно очищенные от посторонних примесей и загрязнений жидкости и газы в некоторой степени рассеивают свет. Л. И. Мандельштам и М. Смолуховский установили, что причиной появления оптических неоднородностей являются в этом случае флуктуации плотности (т. е. наблюдаемые в пределах малых объемов отклонения плотности от ее среднего значения). Эти флуктуации вызваны беспорядочным движением молекул вещества; поэтому обусловленное ими рассеяние света называется молекулярным. Молекулярным рассеянием объясняется голубой цвет неба. Непрерывно возникающие в атмосфере, вследствие беспорядочного молекулярного движения, места сгущения и разрежения воздуха рассеивают солнечный свет. При этом согласно закону 14.9 голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем желтые и красные, обусловливая голубой цвет неба. Когда Солнце находится низко над горизонтом, распространяющиеся непосредственно от него лучи проходят большую толщу рассеивающей среды, в результате чего они оказываются обогащенными большими длинами волн. По этой причине небо на заре окрашивается в красные тона. Флуктуации приводят к столь интенсивному рассеянию света, что «на просвет» стеклянная ампула с веществом кажется совершенно черной. Это явление называется критической опалесценцией.

При рассеянии света крупными частицами (размеры частиц много больше длины волны), падающий на них свет отражается по законам геометрической оптике, т.е. рассеяние происходит по всем направлениям равномерно на всех частотах, поэтому интенсивность не зависит от w.