МЕТОД ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА.

Многие пространственные задачи в общем виде решаются довольно сложно, однако будучи поставлены в частное положение, решаются легко. Примером может служить одна из основных задач курса: определение расстояния от точки до прямой.

Сущность методов преобразования чертежа состоит в том, что задача общего положения переводится в частное, где она решается значительно легче.

Будем рассматривать следующие методы преобразования чертежа:

1. Метод перемены плоскостей проекций

2. Метод вращения

МЕТОД ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

В методе перемены плоскостей проекций геометрические элементы остаются неподвижными, а заменяются плоскости проекций так, чтобы в новом их положении задача решалась легче. Такая замена будет возможна, если каждая новая система будет состоять из двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, т.е. если не будет нарушен основной принцип ортогонального проецирования.

Наиболее широкое применение имеет такой выбор системы плоскостей проекций, при котором одна из плоскостей проекций в обеих системах является общей, т.е. заменяется только одна, а вторая остается в старой системе, При замене одной плоскости проекций геометрический элемент в новой системе не меняет своего положения по отношению к той плоскости проекций, которая сохранилась от старой системы, т.е. расстояние элемента от этой плоскости не изменилось. Это позволяет построить недостающую проекцию его в новой системе.

Дана точка А и ее ортогональные проекции А₁ и А₂ в системе плоскостей проекций – , ∩ =Х₁₂. Заменим плоскость → . Исходя из основного принципа ортогонального проецирования (рис.1) в качестве новой плоскости можно взять любую плоскость . Пересечение плоскостей и даст новую ось проекций Х₁₄.

Будем рассматривать точку А в этой новой системе плоскостей проекций и построим ее проекции. Горизонтальная проекция останется прежней; фронтальная проекция строится обычным путем, причем А₂А_х = А₄А_х. Совместим плоскости проекций и перейдем к эпюру.

Факт замены плоскостей проекций отразится на эпюре в виде новых осей проекций Х₁₄ и в виде нового направления проецирования Х₁₄. Горизонтальная проекция точки останется прежней (рис.2).

Рис.1	Рис.2.

Для построения новой фронтальной проекции проводим новое направление проецирования, перпендикулярное новой оси, и на нем откладываем А₄А_Х1═А₂А_Х=Z_А, которое и определит новую фронтальную проекцию А₄.

При замене горизонтальной проекции на расстояние от плоскости в старой и новой системах остается одинаковым и фронтальная проекция В₂ остается прежней. Новая горизонтальная проекция В₅ найдется, если от новой оси проекций по новому направлению проецирования отложить В_ХВ₅ = В_ХВ₁=Y_B.

Рис.3.

При решении некоторых задач приходится выполнять ряд последовательных перемен плоскостей проекций, т.е. переходить от системы – к системе – , далее - и т.д.

Задача 1. Определить истинную величину отрезка АВ (рис.4).

Рис. 4
	→ , ║[АВ], Х14║[А1В1]

Для того, чтобы отрезок спроецировался на плоскость проекций в истинную величину, его нужно поставить в положение, параллельное этой плоскости, при этом одна из его проекций в новой системе будет параллельна оси проекций.

Заменим плоскость и новое направление проецирования возьмем перпендикулярным к горизонтальной проекции отрезка [А₁В₁]. Начало отсчета проведем через А₂, а новое начало отсчета возьмем произвольно на новом направлении проецирования. Откладывая Zв на новом направлении проецирования, получим В₄; - угол наклона отрезка к плоскости проекций .

Задача 2. Заменить плоскости проекций так, чтобы отрезок [АВ] стал фронтально-проецирующим (рис.5).

Для того, чтобы отрезок прямой общего положения перевести в положение, перпендикулярное к плоскости проекций, нужны последовательные перемены плоскостей проекций: первой переменой ставим отрезок в положение, параллельное плоскости проекций, второй – в положение перпендикулярное.

В нашем случае ставим отрезок сначала в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекции , а затем перпендикулярное фронтальной плоскости проекций. Новую горизонтальную плоскость проекции берем параллельно отрезку АВ, т.е. новое направление проецирования будет перпендикулярно А₂В_2. Затем заменяем фронтальную проекцию на , новое направление проецирования берем по направлению проекции А₅ В₅.

Рис.5

1. → , ║[АВ], Х₂₅║[А₂В₂];

2. → , [АВ], Х₅₄ [А₅В₅]

Задача 3. Заменить плоскости проекций так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей.

Рис.6
→ , [АВС], Х14 [А5В5].	→ , [АВС], Х25 f2.

Расположив h₁, обеспечим сразу выполнение двух условий: и плоскости треугольника АВС (рис.6).

Задача 4. Определить истинную величину треугольника АВС, т.е. заменить плоскости проекций так, чтобы плоскость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.

а) ∆ АВС лежит в проецирующей плоскости (рис.7);

Заменяем на так, чтобы новая плоскость проекций параллельна фронтальной проецирующей плоскости А₂В₂С₂, тогда ∆ АВС спроецируется на в истинную величину → , ║ [АВС], Х₂₅║[А₄В₄С₄].

б) ∆ АВС лежит в плоскости общего положения (рис.8):

1. → ; [АВС]; Х₁₄ h₁

2. → ; ║ [АВС]; Х₄₅║А₄В₄С₄. Следует обратить внимание на то, что координаты точек измеряются и откладываются от соответствующей оси Х.

Рис.7.	Рис.8

.

	Задача 5   Определить расстояние от точки до прямой (рис.9). 1. → , ║[АВ], Х14 [А1В1]; 2. → ; [АВ]; Х45 [А4В4].
Рис.9
	Задача 6.   Определить расстояние между двумя параллельными прямыми m и n (рис.10). Задача сводится к определению расстояния от точки до прямой. Для этого выбирают на прямой m отрезок [АВ], а на прямой n точку L. 1. → , ║[АВ], Х14║ [А1В1]; 2. → ; [АВ]; Х45 [А4В4]; К5L5-истинное расстояние между прямыми m и n
Рис.10

Задача 7. Определим расстояние между скрещивающимися прямыми [АВ]║ и [CD] (рис.11). Для решения этой задачи заменяем плоскости проекций так, чтобы отрезок [АВ] стал горизонтально-проецирующим, → ; [АВ]; Х₂₅ [А₂В₂]. На отрезок [АВ] проецируется в точку, а на в истинную величину.

Рассмотрим дополнительно рис.12a. Выбираем точку К на отрезке [СD] и опускаем перпендикуляр на истинный отрезок [АВ], получаем точку L. Так как [А₂В₂] , то [LK]║ , на изобразится в истинную величину. На рис.12б изображен эпюр этого решения.

Рис.11

Рис. 12а	Рис. 12б

Задача 8. Определить расстояние от точки А до плоскости (ВСD) (рис.13). Расстояние определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. → , (ВСD); Х₁₄ h₁. Перпендикуляр, опущенный из А₄ на проецирующую плоскость С₄В₄D₄ является истинной величиной расстояния от точки А до плоскости.

Рис.13