Численные методы теплопроводности

 

1.Метод контрольного объема для получения конечно-разностных аппроксимаций уравнения теплопроводности.

2.Явные и неявные численные методы.

3.Метод прогонки.

4.Обзор математических пакетов для численного анализа.

 

Остановимся на численном решении дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности с внутренними источниками теплоты:

.   (5.1)

 

Будем рассматривать одномерную задачу. Уравнения запишется в виде:

или   (5.2)

Краевые условия:

  (5.3)

 

Осуществим дискретизацию расчетной области: Разобьем участок по x от нуля до δ на n участков. Как вариант, применим равномерное разбиение по х. Здесь для двух последующих шагов интегрирования:

. (5.4)

 

 

Дискретизация расчетной области

 

Записываем дискретное уравнение теплопроводности для контрольного объема вокруг точки i. Считается , температура в этом контрольном объеме ti.

 

Дискретизация производной по времени в контрольном объеме i:

.   (5.5)

Здесь

(5.6)

 

m-предыдущий момент времени, m+1 - последующий момент времени.

 

Дискретизация правой части уравнения теплопроводности:

.   (5.7)

Для дискретизации второй производной по координате применяем трехточечную схему. Т.е. используем значения дифференцируемой величины в двух соседних точках ti-1и ti+1.

Рассматриваем вторую производную как разность двух первых производных в промежуточных точках, т.е.:

и .   (5.8)

Тогда

.   (5.9)

После упрощения

  (5.10)

В итоге получаем дискретизированное уравнение теплопроводности в виде:

  (5.11)

или

.   (5.12)

 

Для простоты считаем, что все физические свойства и объемная плотность тепловыделения являются константами.

Приведенная схема дискретизации, примененная нами, является неявной. Все три температуры берутся в момент времени τm+1 и не известны. Решение таких уравнений связано с определенными трудностями, зато схема является численно устойчивой и результат решения является физически верным (качественно верное поведение искомой функции температуры) и достаточно точным даже при грубой сетке разбиения.

Применение явной схемы интегрирования, несомненно проще, но за это придется платить необходимость анализа достоверности результата расчета, возможным отсутствием сходимости решения, необходимостью иметь мелкую сетку разбиения, что еще не гарантирует успех.

Итак, полученное нами дискретное уравнение приведем к виду:

. (5.13)

Здесь

    (5.14)

 

Уравнение подобное можно записать для всех внутренних точек расчетной области (от второй, до предпоследней точки). Таким образом, мы получили систему линейных уравнений, содержащих по три неизвестные величины (три неизвестные температуры в соседних точках). Пока число неизвестных температур на две больше, чем мы записали уравнений.

Два особых уравнения должны быть записаны для граничных точек (самой левой и самой правой) с использованием заданных граничных условий. В нашей задаче это

.   (5.15)

Напомним, что начальное условие мы уже использовали. Расчет начинается с , заданной во всех точках. Забегая вперед скажем, что после выполнения одного шага интегрирования по времени и получения значений температуры на следующем по координате шаге, производим переобозначения и повторяем процедуру расчета вновь. И так до завершения счета по назначенному времени интегрирования.

А сейчас вернемся к дискретизации граничных условий. Начнем с условий на поверхности пластины, с граничных условий третьего рода.

.   (5.16)

Откуда

.   (5.17)

Полученное нами дискретное соотношение приведем к виду:

. (5.18)

Здесь

  (5.19)

Дискретизация граничных условий второго рода на оси пластины:

.   (5.20)

Для уравнения в виде

(5.21)

получим

    (5.22)

 

Итак, мы получили n+1 линейное уравнение с n+1 неизвестными. Если заполнить матрицу коэффициентами А,В,С , то получим трех диагональную матрицу коэффициентов. Такая система уравнений решается методом прогонки.

 

Пример трехдиагональной матрицы коэффициентов А,В,С.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Регулярный режим охлаждения | Классификация по способу течения теплоносителей в рекуперативных теплообенниках


Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 65; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.011 сек.