Первая теорема подобия

Есть различные формулировки первой теоремы подобия. Впервые она была сформулирована еще И. Ньютоном в 1686 г., а в более общей постановке Ф. Бертраном в 1848 г., в силу чего называется также теоремой Ньютона - Бертрана. В современной формулировке, учитывающей возможность существования различных видов подобия, первая теорема подобия имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле, имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений.

Размерности некоторых производных величин будут следующие:

1) Площадь S = l² = > [L]².

2) Объем Q = l³ => [L]³.

3) Момент силы M = F∙l => [M]∙ [L]² ∙[T]^-2.

4) Момент инерции I = m∙l² => [M]∙[L]².
5) Мощность N = A / t =>[M]∙[L]²∙[T]^-3.

6) Давление P = F / S =>[M]∙[L]^-1[T]^-2.

7) Плотность ρ = m / V => [M]∙[L]^-3 .

8) Динамическая вязкость

9) Кинематическая вязкость .

1.7 Вторая теорема подобия (π – теорема)

Вторая теорема основана на результатах исследований Букингема, Федермана и Афанасьевой – Эренфест. Возможность представления интеграла как функции от критериев подобия, найденных из дифференциального уравнения, была строго доказана для частного случая Букингемом, а в более общем виде как математическая теорема – Федерманом. Возможность получения критериев подобия при отсутствии дифференциального уравнения процесса на основе анализа размерностей физических величин, участвующих в этом процессе, была строго доказана в виде теоремы Афанасьевой – Эренфест.

Эта теорема является настолько важной, что ей дали специальное название π – теорема. Она позволяет получить критерии подобия и в тех случаях, когда уравнение процесса можно представить лишь виде

функциональной зависимости между параметрами системы и процесса:

y = f (x₁, x₂,…,x_j,…,x_n-1),или

F (y, x_l, x₂,....,x_j,....,x_{n - l}) = 0, (1.14)

где f и F означают лишь символы зависимости.

π – теорема имеет несколько формулировок, одна из которых (основная) следующая. Всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Таблица 1.1- Размерности физических величин

При решении задач в различных областях науки и техники широкое применение находит также ряд критериев, имеющих специальные названия по

имени ученых, впервые их предложивших. Вот некоторые из них.

1 Критерий Архимеда . (1.59)

2 Критерий Ньютона . (1.60)

3 Критерий Ньютона . (1.61)

4 Критерий Ньютона . (1.62)

5 Критерий Коши . (1.63)

6 Критерий Прандтля . (1.64)

7 Критерий Фурье . (1.65)

8 Критерий Пекле . (1.66)

9 Критерий Нуссельта . (1.67)

10 Критерий Вебера . (1.68)

Здесь - плотность частиц, взвешенных в жидкости;

F_c - сила сопротивления движению тела на поверхности жидкости;

m – масса тела;

M_вр - вращающий момент, ;

J – массовый момент инерции вращающегося тела, ;

- относительная деформация тела в пределах упругости;

E - модуль Юнга, ;

- коэффициент кинематической вязкости жидкости, ;

- коэффициент температуропроводности, ;

- коэффициент теплоотдачи, ;

- коэффициент теплопроводности, ;

- коэффициент поверхностного натяжения, .

Критерии подобия во многих случаях представляют собой отношение двух сил различной природы.Так, критерийРейнольдса есть

Re = .

Критерий Сен-Венана-Ильюшина

.

Критерий Фруда Fr = .

Критерий Эйлера Eu =

Что касаетсякритерия Струхаля Sh,то он представляет собой

отношение: .

Критерии Фурье, Пекле, Нуссельта и Прандтля широко применяются при теплотехнических и термодинамических исследованиях и расчетах.

следствием основных теорем подобия: если параметры, характеризующие одно явление Р₁, выражены в долях от некоторых определенным образом выбранных базисных величин Р_1б, а для второго явления сходственные параметры Р₂ выражены в долях от базисных Р_2б величин, выбранных таким же образом, то при равенстве относительных значений сходственных параметров Р* = Р₁/Р_1б = =Р₂/ Р_2б первое и второе явления могут быть подобны.