Закон сохранения энергии

Покажем на примерах, как можно применять закон сохранения энергии для описания некоторых физических процессов.

В основном будут рассматриваться механический и тепловой процессы, поэтому сформулируем для них закон сохранения энергии. Для механических процессов сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна.

При тепловых процессах закон сохранения энергии, или первый закон термодинамики, записывается так: бесконечно малое изменение внутренней энергии состоит из двух частей — из количества тепла, полученного телом, и произведенной телом работы.

Работа при поступлении тепла зависит от начального и конечного состояния тела и от пути, по которому изменяется состояние тела. Поэтому нельзя рассматривать тепловой эффект процесса как раз­ность этих количеств в конечном и начальном состояниях.

С поглощением тепла в количестве dQ температура повышается на величину dT.

Отношение (где т — масса тела) называется теплоемкостью тела. В физике пользуются теплоемкостью при постоянном давлении с_р и теплоемкостью при постоянном объеме .

Применим первый закон термодинамики для исследования процесса распространения тепла в теле.

Рассматриваются два сечения 1—1 и 2—2 (рис. 7). Тело имеет какую-то определенную начальную температуру. К одному концу тела подводится источник тепла или холода. Соответственно этому в теле происходит нагревание или охлаждение.

Температура в какой-либо точке тела будет зависеть от расстояния точки до места подвода тепла и времени

Т = Т(х, t).

На текущее распределение температуры в теле оказывает влияние начальное распределение температуры, а также условия в концевых сечениях тел, в частности от температуры на обоих концах тела.

В приведенном примере через сечение 1—1 в единицу времени подводится количество тепла, равное Q (х, t). Через сечение 2—2 в единицу времени отводится количество тепла, равное . Разность между этими количествами тепла

в соответствии с первым законом термодинамики затрачивается на изменение температуры в отсеке между сечениями 1—1 и 2—2.

Если , то тело нагревается, в противном случае — охлаждается, т. е. в первом случае

,(1.61)

а во втором — .

При изменении количества подводимого и отводимого тепла па величину температура тела (в соответствии с законом сохранения энергии и определением теплоемкости) должна изменяться на величину

где — элементарная масса тела; S — площадь поперечного сечения тела; — плотность тела.

Так как при и при , то в правой части (1.62) поставлен знак минус.

Подставив в (1.62) значения и соответственно из (1.60), (1.61) н разделив его на на и перейдя к пределу при ,

получим

Таким образом, в одном уравнении получаем два неизвестных Q и Т. Покажем применение закона сохранения механической энергии. Обозначим через — касательное напряжение. Выведем дифференциальное уравнение движения в круглой цилиндрической трубе вдоль кольца. Для этого выделим в зоне на расстоянии от оси трубы элементарный кольцевой слой толщиной dr и длиной и составим уравнение равновесия сил, действующих на выделенный элемент. Этими силами будут: тормозящая сила , ускоряющая сила , сила давления и сила инерции .

По принципу Д'Аламбера, сумма этих сил должна равняться нулю. Если при этом учесть, что первая и последняя из этих сил действуют в направлении, обратном действию остальных двух сил, то

Пренебрегая величиной drdx по сравнению с другими членами, получаем

Рис.8.

Рассмотрим колебание натянутой упругой струны. Колебания принимаются малыми. Это позволяет пренебречь увеличением длины

струны, что приводит к постоянству натяжения в любом сечении и в любой момент времени. Пренебрегаем трением, т. е. диссипация (рассеяние) энергии принимается равной нулю (так как приток энергии извне принимается равным нулю). Предполагаем, что начальный момент времени соответствует состоянию равновесия. Например, в начальный момент времени струна натянута, находится в горизонтальном положении и концы ее закреплены. Для того чтобы начался процесс колебания струны, необходимо ее вывести из положения иавновесия, положим, начальным импульсом. Обозначим отклонение струны от ее положения равновесия через .

На рис. 8 цифрами 1—1 и 2—2 обозначены сечения, в которых закреплены концы струны. Выделим на расстоянии х от начала оси х элементарный отрезок струны между сечениями, обозначенными цифрами 3—4.

Для определения кинетиче ской энергии необходимо найти скорость точек этого отрезка струны. Смещение (отклонение от положе­ния равновесия) точки 3 будет а через интервал времени оно составит .

Средняя скорость этой точки равна

Ввиду того, что подынтегральное выражение ни в одной из точек не может быть меньше нуля, то интеграл равен нулю лишь тогда, когда подынтегральное выражение равно нулю,

Перенесем второе слагаемое в правую часть равенства и разделим последнее на -— (зная, что -— =£= 0). При этом получим

Равенство (1.77) представляет собой дифференциальное уравнение колебания струны. В этом случае имеем одно уравнение и одно неизвестное. Другое неизвестное — натяжение струны — было принято постоянным и тем самым исключено как неизвестное.

Продольное колебание стержня происходит в процессе спуска-подъема бурильных труб или же в процессе непосредственного бурения. Так, например, если имеется шарошечное долото, которое в процессе бурения производит колебательное движение, то в упругих бурильных трубах возникает продольное колебание.

Способ бурения принимается турбинным, так как при роторном в бурильных трубах возникают крутильные колебания, вызванные вращением инструмента. Чтобы не усложнять вывода, трением пренебрегаем. Дифференциальное уравнение в этом случае имеет такой же вид, как и для колебания струны. Но в отличие от колебания струны при продольном колебании упругие напряжения, возникающие в каждом сечении, уже не могут быть приняты постоянными как в сечениях, так и во времени.

Дифференциальное уравнение для этого случая можно получить из уравнения движения.

В данном продольном стержне смещение происходит вдоль оси.

Обозначим через смещение вдоль оси ох (см. рис. 9).

Скорость вдоль оси Ox

Ускорение вдоль оси Ox

Рис.10

Упругое напряжение в сечении 1—1 в момент времени t будет F (x, t), а в сечении 2— 2 — будет .

Согласно второму закону Ньютона можно записать

где — плотность; F — площадь поперечного сечения стержня. Разделив уравнение (1.78) на Ах и перейдя к пределу при , получим

Таким образом, имеем одно уравнение и два неизвестных и F.

Данные уравнения можно получить также, исходя из закона сохранения энергии. Покажем на одном примере, что дифференциальные уравнения, полученные из закона Ньютона и на основе закона сохранения энергии, одни и те же.

Рассмотрим колебание груза, подвешенного к упругой нити. Примем, что сила упругости пропорциональна удлинению х (рис. 10).

На рис. 10 показаны: 1 — положение равновесия, 2 — отклонение от положения равновесия, которое изменяется в зависимости от нремени. Если в начальный момент времени груз находится в пололожении равновесия, то х = 0.

Кинетическая энергия в положепии 2 равна , где т —масса; - скорость груза.

Потенциальная энергия — это энергия упругости нити. Силы упругости приняты пропорциональными х, т. е. кх совершает элементарную работу kxdx, соответствующую элементарной потенциальной энергии. В положении 2 потенциальная энергия определяется как

где Ф — полная энергия в положепии 2. Дифференцируя (1.81) по t, получаем

тх"х' -\- кхх' = 0.

При

тх" + кх = 0. (1.82)

Уравнение (1.82) и есть выражение второго закона Ньютона. Во всех приведенных случаях, как правило, число неизвестных было больше числа уравнений, за исключением одного случая — поперечного колебания струны. Однако и в последнем, как было отмечено, одно неизвестное — натяжение струны — исключили, приняв его постоянным. Рассмотрим, каким образом можно получить недостающие уравнения. Например, для движения смеси двух несжимаемых жидкостей необходимо составить еще одно уравнение. Но в этом случае процесс определяется и давлением. Поэтому необходимо иметь два уравнения для нахождения Q₁ и Q₂.

При изотермическом совместном движении газа и жидкости в трубопроводе неизвестными были и V, а уравнение — одно. Но, как известно, связано с давлением при помощи уравнения состояния Клайперона — Менделеева

где р — давление.

Однако при этом появляется новое неизвестное р, т. е. опять не хватает одного уравнения. Приведенное выше уравнение соответствовало закону постоянства массы. Для исследуемого явления необходимо применить еще закон сохранения энергии, например в виде уравнения Бернулли. Но в этом случае появится новое неизвестное — работа сил трения, т. е. требуется опять одно уравнение для определения силы трения. Это уравнение устанавливается экспериментально.

Для совместного движения несжимаемых жидкостей закон сохранения энергии приводит также к необходимости определения силы трения. Указанный процесс характеризуется и давлением. Поэтому и в этом случае необходимо экспериментально составить одно уравнение для сил трения. Если движение неизотермическое, то следует применить и первый закон термодинамики. Тогда появятся два неизвестных Qи Т, связанных одним уравнением типа

т. е. и в этом случае необходимо определить одну экспериментальную зависимость для Q.

При изотермическом движении газированной жидкости в трубопроводе или при фильтрации газированной жидкости в пористой среде плотность газа р связана с давлением р. Появляется еще одно неизвестное р. Вводя понятие массовой скорости для жидкости w₁ и газа w₂, можно через них вычислить соответственно G₁ и G₂. Неизвестными в этом случае являются . Таким образом, необходимо экспериментально определить зависимости для w₁, w₂ и G₃.

При использовании закона сохранения энергии в этом случае необходимо знать работу силы трения, т. е. силу трения (новое неизвестное), причем применение закона сохранения энергии не уменьшает числа недостающих уравнений. Наоборот, количество уравнений увеличивается, соответственно этому увеличивается и количество неизвестных. При движении газоконденсатной смеси в трубах или в пористой среде имеем два уравнения и четыре неизвестных . Плотность р₁ связана с давлением при помощи уравнения состояния.

Таким образом, необходимо экспериментально определить две зависимости — для G₁ и G₂.

При исследовании процесса распространения тепла в теле имеем два неизвестных Q и Т и одно уравнение. Закон постоянства массы выполняется тождественно и недостающее уравнение для Q определяется экспериментально.

Для продольного колебания стержня закон постоянства массы также выполняется тождественно и не дает нового уравнения. В этом случае недостает одного уравнения для вычисления упругих напряжений, которое находят экспериментально.

Для механических процессов необходимы данпые о характерных снойствах рассматриваемой сплошной среды. Эти свойства описываются так называемым определяющим уравнением, которое представляет собой уравнение, описывающее механическую модель.

Ниже будут рассмотрены различные механические модели.

В связи с тем, что тепловые и диффузионные процессы приобретают все большее значение в нефтяной промышленности, будут рассмотрены недостающие уравнения при описании этих процессов. Метод моделирования широко применяется в различных отраслях промышленности, в частности в нефтяной. Учитывая это, а также необходимость расчета электрических и магнитных цепей для различных задач нефтедобычи и бурения, в специальнем параграфе рассматриваем основные законы электричества и магнетизма. В заключение этой главы приведем еще одно необходимое уравнение состояния — скалярное соотношение между плотностью, давлением и температурой.

Для некоторых механических задач часто берут такое уравнение состояния, которое не содержит температуры. Процессы, подчиняющиеся таким уравнениям состояния, называются баротропными.

Однородная несжимаемая жидкость представляет частный случая баротропной жидкости.

Важным частным случаем являются изотермические процессы, при которых температура сохраняетря постоянной, и адиабатические процессы, при которых отсутствует теплообмен.

3. МЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Механические свойства различных материалов могут быть описаны разными теоретическими схемами. Такие схемы позволяют давать качественные описания процесса деформации. Для построения замкнутой теории движения среды должна быть известна связь между кинематическим и динамическим состояниями частицы, в частности между напряжениями и деформациями, выражаемая при помощи механического уравнения состояния тела.

К простым средам относятся следующие тела: упругое, вязкое, жестко-пластическое. Механическое уравнение состояния упругого тела выражается при помощи закона Гука, который для одноосного напряженного состояния имеет вид:

, (I.83)

где — напряжение; Е — модуль Юнга; — относительная деформация.

Механическое уравнение состояния упругого тела изображается в виде механической модели, представляющей собой пружину (рис. 11).

Механическое уравнение состояния вязкого тела для одноосного напряженного состояния выражается при помощи закона Ньютона

. (1-84)

где — вязкость; - — скорость деформации.

Вязкое тело изображается моделью, состоящей из поршня, двигающегося в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 12).

Жестко-пластическое тело при напряжениях ниже предела текучести а_т не деформируется. В таком теле течение развивается лишь при напряжениях, удовлетворяющих условию текучести . Модель такой среды может быть изображена в виде площадки с кулоновым трением (рис. 13).

Выше были приведены три простейшие механические модели, иллюстрирующие механические уравнения состояния вязкого, упру­гого и жестко-пластического тела. Комбинируя эти простые модели,

Рис. 11. . Рис. 12. Рис. 13.

можно рассматривать различные сложные среды. Так, упруго-пластическую среду можно характеризовать моделью, в которой

последовательно соединены упругий и пластический элементы (рис. 14).

Упруго-вязкая среда Фойхта характеризуется моделью, в которой параллельно соединены упругий и вязкий элементы (рис. 15).

Рис. 14. Рис. 15. Рис. 16.

Для такой среды полное напряжение будет складываться из напряжения, соответствующего упругой деформации, и напряжения, вызываемого вязким сопротивлением,

. (1.85)

В состоянии покоя, т. е. при , такая среда ведет себя как упругая. При в среде возникает постоянное напряжение . Если при t = 0, , то из (1.85) получим

Рассмотрим теперь среду, которой соответствует модель, состоя­щая из последовательно соединенных упругого и вязкого элементов (рис. 16). Для такой среды Максвеллом, получен следующий закон деформации:

где — - — скорость деформации; - скорость упругой деформации;

-скорость вязкой деформации.

Из закона Гука дифференцированием определим

Определив - из закона Ньютона (1.84) и подставив полученные значения из (1.88) и (1.87), получим

Если , то тело, описываемое уравнением (1.89), будет деформироваться с постоянной скоростью, т. е. течь подобно вязкой жидкости.

Теперь рассмотрим другой случай. Пусть в момент времени t = О на тело действует напряжение и соответствующее начальное

относительное удлинение, равное -—. Положим , что достигается, в частности, закреплением концов стержня. В этом случае и из уравнения (1.89)

Из (1.90) видно, что напряжение со временем изменяется и no-закону экспоненты при стремится к нулю (рис. 17). Уравнение Максвелла с качественной стороны описывает так называемую релаксацию напряжения, т. е. ослабление со временем напряженного состояния при неизменной деформации. В дальнейшем уравнение Максвелла будет нами использовано для конкретного объяснения явления вытекания глин в скважину в процессе проводки скважины и дальнейшей ее эксплуатации. Находясь под нагрузкой, твердые тела (в частности, цементный камень) медленно деформируются. С повышением температуры это явление текучести тел резко возрастает.

Текучесть твердых тел при высоких температурах обладает рядом характерных свойств и называется ползучестью, или крипом. Изучение ползучести твердых тел проводится опытным путем — растяже­нием стержней при постоянной температуре и фиксированных нагрузках.

Отложим на оси ординат относительное удлинение, а на оси абсцисс — общее время испытания t, тогда кривая длительных испытаний будет иметь вид, показанный на рис. 48. Отрезок ОА соответствует начальной деформации , полученной стержнем при его

Рис. 17. Рис.18.

нагружении. Отрезок АВ характеризует убывание скорости ползучести. С приближением к точке В уменьшение скорости деформации замедляется, и на участке ВС, называемом вторым периодом ползу­чести, скорость деформации практически становится постоянной. Указанный период, характеризуемый минимальной скоростью ползу­чести, бывает обычно наиболее длительным и заканчивается разру­шением тела.

Вязко-пластическое тело изображается моделью, которая состоит из вязкого элемента и площадки с кулоновым трением, соединенных параллельно (рис. 19). Уравнение деформации вязко-пластического тела Шведова — Бингама имеет следующий вид:

где — предельное напряжение сдвига.

При то тело не деформируется. Из рис. 20 видно, что для ряда тел течение наступает только после определенной нагрузки, при этом скорость течения зависит от вязкости среды.

Для выражения механических свойств высокополимеров необхо­димо привлекать модели, состоящие из многих элементов. Обычно для таких моделей характерно большое число параметров. Авторы рассматривали двухпараметрические модели .

Рассмотрим модель (рис. 21), содержащую три параметра Е₁, Е₂, . Для такой среды закон деформации можно получить следующим образом.

Рис.19. Рис.20.

Напишем закон деформации для простых элементов I, II, III:

Рис. 21. Рис. 22.

а также для условий равновесия и неразрывности

Аналогично можно привести модель с четырьмя параметрами (Рис. 22).

4. ОБ УРАВНЕНИЯХ СОСТОЯНИЯ И ЗАКОНАХ ПЕРЕНОСА

Для описания состояний макрофизических свойств тел и переноса процесса взаимодействия применяется понятие обобщенного заряда — объем, масса и т. д. Величина заряда в теле определяет его состояние, а перенос его количественно характеризует процесс взаимодействия.

Величина заряда относится к экстенсивным величинам, т. е. к величинам, распределенным по объему. Заряд может переноситься под действием обобщенного потенциала — интенсивной величины, т. е. величины, распределенной по поверхности. К обобщенным потенциалам относятся температура, давление, электрический потенциал, напряжение и т. д.

Законы переноса определяют зависимость между потоками заряда и разностью потенциалов. Закон же состояния определяет зависимость между потенциалом и зарядом. Так, например, для жидких, газообразных и твердых однородных тел заряд — это объем, обобщенные потенциалы — давление и температура, уравнение состояния — зависимость, выражающая связь между объемом, давлением и температурой. Зависимость между напряжениями и деформациями — это механическое уравнение состояния.

Если поток заряда переносится в пространстве в одном направлении, то такой перенос называется одномерным, в случае же переноса в двух направлениях — плоским, а в трех направлениях — пространственным.

Наибольшее распространение получило уравнение Менделеева — Клайперона (pV = zRT, где р — давление, V — объем, R — газовая постоянная, Т — температура, К, z — коэффициент сжимаемости).

Безразмерный коэффициент сжимаемости зависит от безразмерного давления и безразмерной температуры (р_кр и Т_кр — соответственно критическое давление и температура).

Для нефтепромысловой практики, учитывая точность расчетов, определяемую допусками, точностью исходной информации, а также точностью контрольно-измерительных приборов, коэффициент z можно принять равным единице, т. е. газ принимается идеальным. Так, например, для контроля давления наиболее совершенное средство — образцовые манометры, погрешность которых для некоторых манометров и интервалов давлений составляет +0,35% максимального давления. Если при трубопроводном транспорте газа давление в начале трубопровода близко 100 кГ/см², то применяется манометр со шкалой 100 кГ/см², причем погрешность будет 0,35 кГ/см². Учет коэффициента z при сравнительно небольшой протяженности газопровода внесет уточнение не более указанной погрешности.

Приведем пример, не имеющий прямого отношения к излагаемому, по хорошо иллюстрирующий отмеченное положение. При трубопроводном транспорте воды, учитывая допуски, точность расходомеров, погрешность в определении гидравлических сопротивлений также может достигнуть нескольких процентов. Часто в инженерных исследованиях это не учитывается. Например, точность рассчитанных величин не адекватна точности контрольно-измерительных приборов. Иногда составляют эмпирические уравнения, в которых влияние отдельных факторов меньше, чем точность, с которой может быть определена функция. Придавая большое значение этому вопросу, авторы посвятили специальный параграф краткому изложению теории ошибок, в основном имея в виду их прикладное значение для нефтепромысловой механики.

Приведем уравнение состояния жидкости, которое часто применяется в нефтегазопромысловой механике для баротропной жидкости,

где — плотность при давлении р₀; — коэффициент объемного упругого расширения жидкости.

Данное уравнение может быть аппроксимировано линейной зависимостью

Отмеченное справедливо для так называемых малосжимаемых жидкостей. Очень часто, идеализируя уравнение, не указывают условия, при которых эта идеализация практически приемлема.

Так, в рассматриваемом случае только по коэффициенту упругого расширения жидкости не могут быть отнесены к малосжимаемым. Это зависит и от интервала изменения давления, т. е. если имеются две жидкости и у одной коэффициент меньше, чем у другой, это не свидетельствует о возможности применения линейной аппроксимации. Необходимо обратить внимание на интервал изменения давления.

Рассмотрим критерии, которые позволяют выяснить условия, при которых следует учитывать упругость и сжимаемость жидкости. Так, например, при нестационарном движении вязкой жидкости в длинном трубопроводе, а также в пористой среде целесообразно применить понятие времени релаксации (ослабление состояния тела после прекращения воздействия, вызвавшего это состояние). Оценим порядок времени релаксации для движения в трубопроводе. Под порядком понимается порядок величины: секунды, десятки секунд, сотни секунд и т. д. Время релаксации будет зависеть от силы инерции, определяемой массой (плотностью) и вязкостью. Так как развитие профиля скоростей зависит в основном от радиуса, следовательно,

.

Нетрудно видеть, что из этих четырех величин может быть составлен один безразмерный параметр.

Приведенная зависимость представляется в виде степенной комбинации, что возможно при одном безразмерном параметре

.

Пользуясь размерностью величин, входящих в последнее уравнение, получаем

где Т, Р и L — соответственно размерности времени, силы и длины. В левой и правой части уравнения размерности должны быть одинаковые (однородность размерности). В левой части не имеется Р и L, точнее, они входят в нулевой степени. Следовательно, и в правой части Р и L должны быть в нулевой степени, Т — в первой, т. е.

.

Отсюда т₁ = 1; m₃ = —1; m₂ = 2. Таким образом,

Время релаксации имеет порядок

Приведем численный пример. Через 4" трубопровод прокачивается вязкая нефть плотностью 0,8 и вязкостью 5 спз. Тогда

Таким образом, время релаксации порядка нескольких минут.

Если рабочий период трубопровода больше времени релаксации, то можно пренебречь упругостью жидкости и рассматривать движение как стационарное. При исследовании пускового периода трубопровода, время которого соизмеримо со временем релаксации, необходимо рассматривать нестационарное движение.

Для твердого скелета упругой пористой среды принимается сле­дующее уравнение состояния:

где — объем норового пространства; — объем жидкости; V — начальный объем; — коэффициент сжимаемости.

Строго говоря, не коэффициент сжимаемости, так как в приведенную формулу входит изменение порового пространства, а изменение объема твердого скелета. Экспериментальные же исследования показывают, что эти величины мало отличаются.

Перейдем к рассмотрению различных уравнений переноса массы (закон Дарси и Фика), тепла (закон Фурье), электрического тока (закон Ома). Подробно изложим, как экспериментальным путем установлен закон переноса массы в пористой среде — закон Дарси. Рассмотрим движение практически несжимаемой жидкости. Введем понятие фиктивной средней скорости, т. е. когда поток жидкости «размазывается» по всему сечению твердого скелета и пор. Скорости и ускорения изменяются как по величине, так и по направлению пористой среды. Ввиду большого разнообразия пор невозможно учесть скорость отдельных частиц. Принято рассматривать значения скоростей ъ некотором объеме. Практическая несжимаемость жидкости проверяется равенством расходов при входе и выходе, при этом имеется в виду равенство в пределах погрешности применяемых расходомеров. Таким образом, в данном случае заряд может быть охарактеризован

Рис.23

скоростью фильтрации. При безынерционной фильтрации характерным будет перепад давления, отнесенный к единице длины. Так, например, зная перепад давления при заданном расходе на заданной длине, можно определить перепад давления на любой длине. Отмеченное не относится к сжимаемой жидкости, так как в этом случае распределение давления Рис. 23по длине не будет носить линейного характера. По мере удаления от входа давление падает, что при неизменности массового расхода приводит к увеличению объемного расхода. На рис. 23 приведены три кривые зависимости распределения давления.

Процесс фильтрации несжимаемой жидкости характеризуется прямой линией 1. Сравним случаи фильтрации сжимаемой и несжимаемой жидкостей (сравниваются жидкости, имеющие одинаковые плотности при одинаковых объемных расходах и давлениях на входе). Объемный расход по мере удаления от начала отсчета растет для сжимаемой жидкости, в результате чего давление в конце отсчета (точка В) ниже давления несжимаемой жидкости (точка А).

Рассмотрим, по какой из кривых (2 или 3) должно произойти изменение давления. По мере удаления от начала отсчета перепад давления должен увеличиваться ввиду непрерывного увеличения расхода (кривая 2). По кривой 3 интенсивность перепада давления уменьшается.

Для большей физической ясности рассмотрим другой пример, когда давление в начале и в конце отсчета для сжимаемой и несжима­емой жидкостей одинаково. По мере удаления от начала отсчета расход для сжимаемой жидкости будет расти, оставаясь меньше, чем для несжимаемой. В некоторой точке М (рис. 24) расходы несжимаемой и сжимаемой жидкостей будут одинаковы, после которой расход для сжимаемой жидкости будет больше, чем для несжимаемой. До точки М интенсивность изменения давления для сжимаемой ншдкости будет больше, чем для несжимаемой, в точке М они равны, а затем интенсивность изменения давления сжимаемой жидкости будет меньше интенсивности несжимаемой. Так как интенсивность изменения давления характеризуется производной, то в точке М касательная, проведенная к кривой, будет параллельна прямой, проведенной для сжимаемой жидкости.

Следовательно (см. рис. 23), при движении сжимаемой жидкости кривая распределения давлений обращена вогнутостью к оси абсцисс. Это относится к стационарной фильтрации, когда величины, характеризующие фильтрацию, практически неизменны во времени.

Состояние систем термодинамики характеризуется обобщенным зарядом. Если заряд находится в статическом состоянии и не изменяется во

Рис. 24.

времени, то система является стационарной, равновесной (статика). Пронизывание системы неизменным зарядом соответствует стационарно неравновесной системе (кинетика). При изменяющемся заряде, но не пронизывающем систему, система нестационарно равновесна стато-динамика;. и, наконец, для нестационарно неравновесной системы (кинето-динамика) происходит перенос заряда и одновременное изменение во времени.

Так как будем рассматривать безынерционную фильтрацию, то плотность не характеризует данный процесс. Следовательно, скорость фильтрации w определяется следующей функциональной зависимостью:

где d_t — диаметры зерен, составляющих пористую среду. На основании я-теоремы можно записать

Стоящая в правой части величина к, характеризующая пористую среду и зависящая от ее состава, называется проницаемостью. Она имеет размерность квадрата длины и определяется опытным путем. На первый взгляд, приведенный закон переноса (закон Дарси) установлен лишь только на основе применения -теоремы. Но это не так. -теорема позволяет лишь экономно познать процесс. В данном случае безынерционность д