Основные теоремы теории поля.

Пусть S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, М –произвольная точка объема V или поверхности S, – вектор элементарной площадки на S, построенной с использованием внешней нормали по отношению к объему V. Пусть поверхность S обладает необходимой степенью гладкости (вектор , МÎS изменяет свое направление непрерывным образом). Пусть j=j(М) – скалярная, а - векторная функции точки M(x,y,z). Допустим, что и j и непрерывны вместе со своими первыми производными по x, y и z в любой точке объема V и его границы S. В этом случае справедливы три основные теоремы, в основе которых лежит теорема Остроградского-Гаусса, позволяющие заменить интеграл по объему на интеграл по поверхности. Три основные теоремы приводят к формулам:

1. для градиента

; (1)

2. для дивергенции

; (2)

3. для ротора

. (3)

Кроме отмеченных теорем в теории поля широко используется теорема о циркуляции (формула Стокса). Суть ее в следующем.

Если - элемент замкнутой пространственной или плоской кривой С, то справедлива формула Стокса:

(4)

В этой формуле нормаль к двусторонней поверхности S, натянутой на контур С, выбирается таким образом, что положительное направление обхода контура С, если смотреть с конца вектора , является обходом против часовой стрелки. Иногда в математических руководствах говорят, что при обходе контура С область S остается слева. Формула Стокса позволяет заменить вычисление потока ротора векторного поля через поверхность S на вычисление циркуляции вектора по контуру C, на который опирается поверхность S.

Формулы (1) – (4) позволяют дать новые определения основных дифференциальных операций векторного анализа:

(5)

(6)

(7)

Часто для практических вычислений вместо формулы (7) используют соотношение, получаемое предельным переходом из формулы (4):

(8)

Замечательным свойством соотношений (5) – (8) является не только их символьная форма, не привязанная к конкретной системе координат, но и возможность при необходимости вычисления физических компонент соответствующих векторов в криволинейных системах координат.

Для цели настоящего курса значимость соотношений (5) – (8) заключается еще и в том, что с их помощью устанавливается физический смысл основных дифференциальных операций векторного анализа.

В теоретических построениях важную роль играет математическое утверждение о том, что из условия равенства нулю объёмного, поверхностного или линейного интеграла при любой (произвольной) области интегрирования следует локальное, справедливое в каждой произвольной точке области условие обращения в нуль подынтегральной функции.