Установившиеся и неустановившиеся потоки

Обозначим через любую величину, изменяющуюсяв потоке жидкости как во времени, так и в пространстве, например:плотность, давление, температуру, концентрацию или любую из составляющих скорости жидкости в направлении осей координат .

Допустим, что при наблюдении за движением потока можно мгновенно регистрировать значениепараметра в каждый момент времени и в любой точке потока. Изменение параметра в единицу времени для фиксированной точки пространства выражается частной производной , а изменение в указанной точке за бесконечно малый промежуток времени составляет . Это изменение является местнымили локальным изменением данной переменной. При установившемся движении .

Если наблюдатель перемещается вместе с потоком, с какой–либо частицей, то за время частица потока переместитсяиз точки А с координатами в точку В с координатами , и .

В результате перемещения из точки А в точку Визменения , соответствующие проекциям пути , равны , и . Эти изменения не связаны с изменением во времени в какой–либо фиксированной точке пространства. Если бы не было локального изменения , то при переходе частицы из точки А в точку В значение изменилось бы на величину

(2.30)

Это выражение представляет собой конвективное изменение параметра .

Полное изменение при неустановившемся движении представляет собойсумму локального и конвективного изменений:

(2.31)

откуда изменение параметра за малый промежуток времени:

(2.32)

тогда

(2.33)

При установившемся движении ,

(2.34)

Выражения (2.33 и 2.34) представляют собой субстанциональную производную для неустановившегося и установившегося течения жидкости. Они характеризует изменение какого–либо параметра или свойства материи (субстанции) во времени при перемещении материальных частиц в пространстве. С учетом специфики понятия субстанциональную производную зачастую обозначают вместо .