Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений основан на определении напряжений узлов цепи относительно некоторого базисного узла. Искомые напряжения узлов называются узловыми напряжениями, используя которые составляются уравнения по первому закону Кирхгофа, называемые узловыми уравнениями. Решая систему узловых уравнений, находят узловые напряжения, и затем рассчитать напряжения и токи ветвей и элементов электрической ветви.

Базисный узел часто называют нулевым узлом, поскольку его потенциал условно может быть принят равным нулю. Тогда напряжение между рассматриваемым узлом и базисным будут равны потенциалу рассматриваемого узла. Поэтому данный метод называют также методом узловых потенциалов. В качестве базисного узла целесообразно выбирать узел, в котором сходится наибольшее число ветвей.

За положительное направление узлового напряжения узла принимают направление от рассматриваемого узла к базисному узлу. Число узловых уравнений определяется числом независимых узлов цепи .

Рассмотрим метод составления узловых уравнений на примере цепи, показанной на рис. 8.3. В качестве базисного выбираем узел, в котором сходится 5 ветвей. Тогда узловое напряжение первого узла равно , второго — и третьего — .

Поскольку общее число узлов цепи (рис. 8.3) , то для её расчета по методу узловых напряжений необходимо составить узловых уравнения по первому закону Кирхгофа.

Условимся сумму проводимостей ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу, называть собственной проводимостьюузла, а сумму проводимости ветвей, включенных непосредственно между двумя смежными узлами —взаимной проводимостью между узлами. Для цепи (рис. 8.3) собственная проводимость первого узла равна , второго узла — и третьего узла — . Соответственно взаимная проводимость между первым и вторым узлом равна , между первым и третьим — и между вторым и третьим — .

При составлении узловых уравнений по первому закону Кирхгофа электрический тока, вызываемый в собственной проводимости узла его узловым напряжением, записывается в левой части уравнения со знаком «плюс», а электрический ток, вызываемый во взаимной проводимости узловым напряжением смежного узла, записывается в той же части уравнения, но со знаком «минус».

Если ветвь, подключённая к рассматриваемому узлу, содержит источник тока, то ток этого источника записывается в правой части узлового уравнения со знаком «плюс», если он направлен к узлу, и со знаком «минус», если он направлен от узла. В результате, правая часть узлового уравнения представляет собой алгебраическую сумма токов источников тока, входящих в состав ветвей, подключенных к данному узлу. Такая сумма называетсяузловым током. Если ветви, подключенные к данному узлу, не содержит источников тока, то узловой ток этого узхла равен нулю.

Для цепи (рис. 8.3) узловой ток первого узла равен , второго — , третьего — .

На основании выше изложенного можно сформулировать следующее правило составления узлового уравнения: левая часть узлового уравнения должна представлять собой сумму произведения узлового напряжения на собственную проводимость узла и произведений узловых напряжений соседних узлов на соответствующие им взаимные проводимости, взятых со знаком «минус», а его правая часть должна представлять собой узловой ток.

Используя указанное правило, составляем систему узловых уравнений электрической цепи (рис. 8.3):

Решая систему уравнения, находят узловые напряжения, и затем рассчитывают напряжения и токи ветвей и элементов цепи. Например, напряжения на проводимостях , и соответственно равны узловым напряжениям , и , напряжение на проводимости равно , на проводимости — и на проводимости — .

Обобщая полученную ранее систему узловых уравнений на случай, когда электрическая цепь имеет независимых узлов, получаем:

Решение системы уравнений относительно k-го узлового напряжения может быть найдено с помощью определителей

,

где

— определитель системы с индексом «Y», который означает, что членами определителя являются комплексные проводимости.

Дальнейшее преобразование k-го узлового напряжения осуществляется согласно правилу разложения определителя по элементам k-го столбца.

Если между двумя какими-либо узлами цепи включен идеальный источник напряжения, то один из таких узлов целесообразно принять за базисный (нулевой) узел. Тогда напряжение другого узла, к которому подключён идеального источника напряжения, будет равно э.д.с. источника, то есть станет известной величиной. В результате, число составляемых уравнений, уменьшается до значения , где — число идеальных источников напряжения, включённых между базисным узлом и другими узлами цепи.

Если цепь содержит неидеальные источники напряжения, то перед составлением уравнений рекомендуется преобразовать их в эквивалентные источники тока по известным правилам (см. п. 7.4).

Рассмотрим цепь (рис. 8.4, а), содержащую один идеальный источники напряжения , включенный между узлами 0 и 1. Если узел 0 принять за базисный узел, то узловое напряжение первого узла будет равно , то есть является известной величиной. Ветви, содержащие неидеальные источники напряжения, заменяем эквивалентными источниками тока . И . В результате, получаем эквивалентную схему замещения (8.4, б), для расчёта которой достаточно составить только два узловых уравнения:

Решая систему уравнений, находят узловые напряжения и , и затем рассчитывают напряжения и токи ветвей и элементов цепи.

Метод наложения

Метод наложения основан на принципе суперпозиции, согласно которому реакция линейной электрической цепей на сложное внешнее воздействие, которое может быть представлено в виде суммы более простых воздействий, равна сумме реакций, вызванных каждым из простых воздействий, действующих по отдельности.

В соответствии с методом наложения ток любой ветви электрической цепи может быть найден следующим образом.

1. Составляются эквивалентные схемы цепи, содержащие только один источник энергии, путем исключения всех остальных источников. При исключении идеального источника напряжения точки подключения этого источника замыкают накоротко. При исключении идеального источника тока ветвь, в которую он был включен, разрывают, то есть такая ветвь может быть исключена из эквивалентной схемы. При исключении источника напряжения или тока, имеющего конечное внутреннее сопротивление, последнее оставляют в эквивалентной схеме.

2. Для каждой эквивалентной схемы определяют ток интересующей нас ветви, создаваемый оставленным источником энергии. Такой ток называют частичным.

3. Находят полный ток интересующей нас ветви в виде алгебраической суммы частичных токов с учетом их направления, определяющего знак тока.

В качестве примера рассмотрим цепь (рис. 8.5, а), содержащую два источника электрической энергии.

а) б) в)

Рис. 8.5

Определим методом наложения ток , протекающий в ветви с сопротивлением . Составляем эквивалентные схемы исходной цепи, каждая из которых содержит только один источник электрической энергии (рис. 8.5, б, рис.8.5, в).

Используя эквивалентную схему (рис. 8.5, б), определяем частичный ток сопротивления , создаваемый источником напряжения ,

.

Используя эквивалентную схему (рис. 8.5, в), определяем частичный ток сопротивления , создаваемый источником тока ,

.

Тогда полный ток , протекающий в сопротивлении при одновременном воздействии двух источников электрической энергии, определяется как алгебраическая сумма частичных токов

.