Формулировка классической электродинамики в четырёхмерном представлении (потенциалы, источники поля и уравнения).

Система уравнений классической электродинамики (уравнения Максвелла) может быть записана с использованием скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля (раздел 12.8):

. (1)

Для однородной изотропной среды с учётом условия калибровки Лоренца

, ( ) (2)

справедливы неоднородные уравнения в форме Даламбера (Д`Аламбер) для скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля:

(3)

(4)

. (5)

В уравнениях (3)-(4) правые части рассматриваются как известные функции координат и времени. Выше было показано, что уравнения (2)-(4) эквивалентны системе уравнений Максвелла.

Соотношения специальной теории относительности (СТО) приобретают наиболее простую форму в 4-пространстве – в пространстве-времени (мир Минковского). Представляется целесообразным попытаться описать основные уравнения классической электродинамики в четырёхмерном представлении. Первым шагом на этом пути может быть введение 4-потенциала и 4- плотности тока как четырёхмерных векторов относительно преобразований Лоренца в четырёхмерном пространстве-времени. В СТО можно выбрать набор координат с действительным, или мнимым временем. В предыдущем разделе было сказано, что набор координат 4-пространства с мнимым временем предпочтительнее при описании электромагнитных явлений.

Определим вектор 4-потенциала следующим образом:

. (6)

Определим вектор 4- плотности тока:

. (7)

Напомним, что 4-радиус-вектор определён соотношением:

. (8)

Для вакуума уравнения (3)-(4) можно записать единой формулой:

(9)

Условие калибровки Лоренца потенциалов электромагнитного поля (2) в четырёхмерном пространстве принимает вид:

(10)

Выпишем ещё явную форму закона сохранения электрического заряда в дифференциальной форме:

с использованием тензорных обозначений

(11)

Заметим, что 4-дивергенция четырёхмерного вектора (11) является инвариантом преобразований Лоренца, т.е. скалярной величиной.

Итак, среди всех возможных решений уравнения Пуассона в 4-пространстве для каждой из проекций 4-вектора потенциала необходимо отобрать такие решения, которые удовлетворяют уравнению (10), при этом, оказывается, что источник электромагнитного поля, пропорциональный плотности 4-вектора тока должен быть согласован с условием (11). Заметим далее, что при попытке использовать введённые 4-векторы и уравнения для них в качестве исходного постулата классической электродинамики нам надо не забыть ещё и указать связь этих величин с силовыми характеристиками электромагнитного поля в трёхмерном пространстве. В чём же положительный результат проведённого анализа? Постулат о том, что 4-потенциал – это 4-вектор относительно преобразований Лоренца в пространстве-времени - сразу задаёт правило преобразования его компонент. Именно этим путём можно получить соотношения (1) предыдущего раздела.

Техника работы с четырёхмерными векторами и уравнениями классической электродинамики может быть освоена в результате разбора решения следующих задач.

Задача 1. Показать, что система уравнений (9) эквивалентна системе уравнений (3)-(4) для потенциалов электромагнитного поля в вакууме в трёхмерном пространстве.

Решение. Переписывая систему уравнений (9) в трёхмерных обозначениях, получаем

(12)

Для значений индексов k=1,2,3 эквивалентность уравнений (9) и (4) сомнений не вызывает в силу определения вектора 4-плотности тока через вектор объёмной плотности тока в трёхмерном пространстве. Для k=4 из системы уравнений (9) следует

(13)

мнимая единица сокращается, а с учётом зависимости для вакуума приходим к уравнению (3).

Задача 2. Показать, что уравнение (10) эквивалентно условию Лоренца (2) для потенциалов электромагнитного поля в вакууме в трёхмерном пространстве.

Решение. Выражение

, (14)

очевидно, эквивалентно выражению в трёхмерном пространстве. В соответствии с определением и получаем:

. (15)

Действительно, обращение в нуль 4-дивергенции 4-потенциала эквивалентно условию калибровки Лоренца для трёхмерных представлений потенциалов электромагнитного поля.

Задача 3. Показать, что уравнение (11) эквивалентно закону сохранения электрического заряда для электромагнитного поля в трёхмерном пространстве.

Решение. Выражение

, (16)

очевидно, эквивалентно выражению в трёхмерном пространстве. В соответствии с определением и получаем:

. (17)

Действительно, обращение в нуль 4-дивергенции вектора 4- плотности тока эквивалентно закону сохранения электрического заряда в трёхмерном пространстве.

Задача 4. Вычислить компоненты 4-вектора и компоненты вектора 4-плотности тока при переходе из системы координат в систему координат .

Решение. Формально решение задачи имеет вид:

. (18)

Матрица прямого преобразования Лоренца рассмотрена выше (соотношение (13) раздела 13.1.7):

. (19)

Осуществляя умножение матрицы на вектор-столбцы и , последовательно получаем:

, . (20)

Отметим идентичность формы преобразования Лоренца 4-векторов разной физической природы. Если в полученных зависимостях «раскрыть» содержание символов в соответствии с принятыми выше определениями (6)-(8), получим возможность изучать преобразования векторного и скалярного потенциалов электромагнитного поля в трёхмерном пространстве и преобразования компонент плотности тока и объёмной плотности электрического заряда при переходе из системы координат в систему координат :

(21)

Далее естественно предположить, что в штрихованной системе координат сохраняют силу выражения для напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля:

(22)

Символы grad и rot в выражениях (22) отмечены штрихами, это означает, что дифференциальные операции должны выполняться по штрихованным переменным, эти переменные являются аргументами трёхмерных векторных функций и скалярной в трёхмерном пространстве функции . В разделе 13.2.2 (формулы (3)) получены правила перехода от дифференцирования по штрихованным переменным к дифференцированию по координатам исходной системы отсчёта:

(23)

Воспользуемся соотношениями (23) для вычисления, например, формул преобразования проекции :

После очевидных упрощений получаем:

. (24)

Для проекции аналогичным образом получаем:

.

По определению в нештрихованной системе отсчёта справедливо , откуда

.

В итоге имеем формулу преобразования:

. (25)

Предоставим читателю самостоятельно получить формулу преобразования проекции :

(26)

В разделе 13.2.1 мы постулировали правила преобразования электрических величин. Оказывается, что если постулировать существование 4-вектора потенциала (с соответствующими правилами преобразования) и сохранить зависимости силовых характеристик электромагнитного поля от потенциалов электромагнитного поля в трёхмерных системах координат, то первая строчка формул (1) упомянутого раздела является следствием принятого постулата.

Выведем правило преобразования, например, для проекции :

.

Вспоминая соотношения

.

получаем окончательно:

. (27)

Аналогичным образом можно получить все выражения второй строчки формул (1) раздела 13.2.1.

Формулы преобразования вектора 4-плотности тока (20) описывают следующие правила преобразования

. (28)

Легко убедиться, что соотношения (28) совпадают с формулами (2) и (3) раздела 13.2.1.