Плоские гармонические электромагнитные волны в однородной проводящей анизотропной среде.

Рассмотрим систему уравнений электродинамики для случая однородной анизотропной проводящей среды:

(1)

(2)

(3)

(4)

, , , (5)
где треугольная крышка над символом физической величины означает тензор второго ранга. Развёрнутая форма записи материальных уравнений (5)

(5¹)

(5²)

(5³)

Заметим, что коэффициенты пропорциональности в материальных уравнениях (5) анизотропной среды могут являться функциями частоты w. Физический смысл соотношений (5) состоит в том, что в случае анизотропных сред векторы и , также как и векторы и или векторы и не являются параллельными друг другу: величина фиксированной проекции первого вектора зависит от всех проекций второго вектора. В случае «слабых» полей и выполнения некоторых дополнительных условий на свойства среды эта зависимость является однородной и линейной. Термодинамический и молекулярно-кинетический анализ свойств реальных сред позволяет установить определенные свойства симметрии тензоров , и , положительность их составляющих и т.п. В настоящем разделе предполагается использовать тензорные операции в декартовой системе координат. Заметим, что описание анизотропных сред кристаллической структуры с неортогональными осями симметрии требует применения тензорного аппарата в косоугольных координатах, что сопряжено с дополнительными математическими усложнениями.

При изучении плоских электромагнитных волн в анизотропной среде будем предполагать, что физические величины , , , , и r описываются выражениями вида

(6)

где – радиус-вектор точки наблюдения, t – время, – комплексный (в общем случае) волновой вектор, w – частота волны. Комплексный вектор является постоянной векторной величиной, которая не зависит от координат и времени. В этом случае справедливы соотношения:

, , . (7)

Для комплексных амплитуд, упомянутых выше физических величин, из системы (1)-(4) с учетом выражения (7) получаем систему уравнений:

, (8)

, (9)

, (10)

. (11)

При записи системы уравнений (8)-(11) специального обозначения для комплексной амплитуды физической величины не вводилось. Соотношения (5) справедливы и для системы (8)-(11) с учетом физического смысла символа.

Плоская гармоническая электромагнитная волна является специфическим физическим процессом. Для этого процесса, как легко видеть, уравнение (8) является следствием уравнения (10)

и поэтому может быть исключено из рассмотрения. Что же касается уравнения (9), то вопрос о его значимости в системе основных уравнений плоских гармонических электромагнитных волн требует обсуждения. Умножим уравнение (11) скалярно на вектор :

.

Правую часть полученного соотношения можно умножить на мнимую единицу:

. (12)

В результате получено уравнение сохранения электрического заряда в дифференциальной форме. Это не удивительно, поскольку закон сохранения электрического заряда можно рассматривать как следствие системы уравнений Максвелла.

Из цепочки соотношений (12) нельзя сделать заключение, что правая часть уравнения (9) обращается в ноль в произвольном случае. Но обычно и уравнение (9) специально не рассматривают, полагая, что оно выполняет роль определения для величины .

Перепишем уравнения (10) и (11) с использованием материальных уравнений среды:

, (13)

. (14)

Введём в рассмотрение комплексный тензор диэлектрической проницаемости среды:

(15)

Это оказывается удобным, поскольку уравнение (14) принимает вид

, (16)

совпадающий по форме с уравнением полного тока для среды без поглощения. Из уравнения (16) следует уравнение

, (17)

но это не означает выполнения условия

. (18)

Таким образом, в общем случае волна объёмной плотности свободных электрических зарядов может существовать. Эта волна исчезает, если тензор электропроводности пропорционален тензору диэлектрической проницаемости :

. (19)

В специальной литературе встречается утверждение, что для выполнения условия достаточно того, чтобы главные оси тензора диэлектрической проницаемости и тензора электропроводности совпадали. Напомним, что для тензора второго ранга можно подобрать такую систему координат, чтобы матрица тензора стала диагональной. Приведённое утверждение подразумевает, что эта специфическая система координат должна быть одна и та же для обоих тензоров. Но этого недостаточно, необходимо ещё выполнение условия пропорциональности:

. (20)

Индексами 1,2,3 в соотношениях (20) отмечены диагональные элементы соответствующих тензоров после приведения к диагональному виду. Условия (19) в этом смысле более удобны, можно говорить, что они являются первичными условиями обращения волны объёмной плотности свободных электрических зарядов в ноль.

Вернёмся к рассмотрению уравнения (16). Если матрица тензора не является особенной, т.е. её детерминант не равен нулю, то существует матрица , обратная по отношению к матрице тензора :

, (21)

где - «единичная матрица», её недиагональные члены равны нулю, а диагональные равны единице, её основное свойство состоит в том, что она в результате умножения на вектор не меняет компоненты этого вектора:

. (22)

Умножая слева обе части уравнения (16) на матрицу , получаем:

. (23)

Явное выражение вектора напряжённости электрического поля (23) подставим в уравнение электромагнитной индукции (13):

. (24)

Уравнение (24) является линейным векторно-матричным однородным уравнением относительно вектора . Его нетривиальное решение возможно только при выполнении специальных условий, налагаемых на компоненты волнового вектора . Получить явную аналитическую форму этих условий наиболее просто можно при помощи математического приёма формальной замены векторного произведения (символическая форма записи) на векторно-матричную форму записи той же операции. Введём в рассмотрение тензор

. (25)

Тензор называют «дуальным» по отношению к исходному вектору , с использованием которого он построен. Замечательное свойство тензора состоит в том, что компоненты произведения совпадают с проекциями на оси декартовой системы координат векторного произведения , что легко проверяется непосредственным вычислением. Воспользуемся этим свойством для преобразования уравнения (24):

. (26)

Левая часть уравнения (26) представляет собой произведение матрицы на вектор-столбец, а уравнение в целом – векторно-матричное линейное однородное уравнение относительно компонент вектора . Теперь условие существования нетривиального решения приобретает хорошо знакомый вид:

. (27)

Поскольку матрица тензора имеет комплексные компоненты, очевидно, что её обратная матрица тоже является комплексной. В этом случае и матрица и её детерминант являются комплексными. Таким образом, уравнение (27) фактически является системой двух вещественных уравнений:

, . (28)

Предвосхищая последующие результаты, воспользуемся общей формой записи волнового вектора

, (29)

которая была использована в предыдущих разделах. Удобно при записи декартовых составляющих вещественных векторов и перейти к сферическим координатам

, , ,

, , .

Если эти выражения использовать в уравнениях (28), то можно получить систему двух уравнений относительно величин q и p:

, (30)

. (31)

Коэффициенты этих уравнений являются функциями угловых переменных (ориентация в пространстве векторов и ), физических свойств среды (компоненты тензоров диэлектрической проницаемости, магнитной проницаемости и электропроводности среды) и частоты электромагнитной волны . Заметим, что величины q и p должны быть вещественными и положительно определёнными величинами, только при выполнении этих ограничений решение будет обладать физическим смыслом.

Располагая совокупностью решений системы уравнений (30)-(31)

, , , (32)

где А₁₁, А₁₂ и А₁₃ являются детерминантами второго порядка, получающегося из матрицы вычёркиванием соответствующей строки и соответствующего столбца, а величина является параметром решения, можно изучать конкретные формы плоских неоднородных электромагнитных волн:

, (33)

. (34)

Заметим, что однопараметрическое представление решения (32) действительно является решением системы уравнений (30)-(31), если не все величины А₁₁, А₁₂ и А₁₃ обращаются в нуль.

Подводя итоги рассмотрения распространения плоских электромагнитных волн в однородной не изотропной проводящей среде, заметим, что нам удалось познакомиться с методом исследования и получить общие результаты, детальное исследование выходит за рамки настоящего пособия. Подробно эти явления и наблюдаемые при этом эффекты рассматриваются в специальных руководствах по оптике, кристаллооптике и металлооптике.

Формулы Френеля.

Френель считал, что само существование световых волн обусловлено динамическими свойствами светоносного эфира. В те годы концепция «эфира» была распространённой научной гипотезой. Френель считал, что колебания, из которых состоит свет, перпендикулярны направлению распространения волны (гипотеза о поперечном характере световых волн). Он согласен с Т. Юнгом в том, что явления отражения и преломления вызваны разностью инерционных свойств светоносного эфира, заполняющего различные материальные среды. Одно из основных предположений Френеля состоит в том, что «инерция эфира» обратно пропорциональна квадрату скорости света в среде. На поверхности раздела двух сред геометрические смещения соседних молекул должны быть параллельны плоскости раздела и одинаковы в обеих средах (условие непрерывности касательных компонент смещения). Кроме того, на границе раздела сред должен выполняться закон сохранения энергии. Это условие формулируется так: поток энергии падающей волны через элемент поверхности раздела сред равен сумме потоков энергии отражённой и преломлённой волн через этот же элемент поверхности раздела сред. Заметим, что представления Френеля во многом являются механистическими. Ниже мы ещё вернёмся к анализу этих представлений, а пока рассмотрим его результаты.

Произвольные поперечные колебания эфира в световой волне можно разложить на колебания, перпендикулярные плоскости падения, и параллельные плоскости падения волны. Плоскость падения волны образована вектором направления распространения волны и вектором нормали к поверхности раздела сред. На рис. ???? плоскость падения является плоскостью рисунка. Удобно рассматривать по отдельности волны с первой и второй ориентацией направления колебаний, а результаты потом «сложить».

Рассмотрим первый случай (рис. ). Пусть , и представляют собой амплитуды падающей, отражённой и преломлённой волн, угол падения равняется углу отражения, угол преломления обозначим величиной . Световая волна падает из первой среды и преломляется во второй среде. Крестиками в кружках условно обозначены направления колебаний. В соответствии с представлениями Френеля плотность потоков энергии в каждой из волн пропорциональна выражениям:

, , . (1)

Здесь - скорость волны, - «инерция эфира». Плотность потока энергии в световой волне направлена вдоль соответствующего направления распространения волны. Запишем условие энергетического баланса для единичного элемента поверхности раздела сред и условие непрерывности касательных компонент смещения:

, (2)

. (3)

Дополним рассматриваемую математическую модель явления законом Снеллиуса

. (4)

Из системы уравнений (2)-(4) получаются следующие зависимости:

, . (5)

В соответствии с полученными результатами колебания в преломлённой волне всегда совпадают по фазе с колебаниями в падающей волне, а фаза колебаний в отражённой волне испытывает скачок на величину полупериода, если вторая среда является оптически более плотной, и не испытывает скачка, если вторая среда является оптически менее плотной.

Рассмотрим второй случай: колебания в падающей, отражённой и преломлённой волнах происходят в направлении, параллельном плоскости падения волны (рис. ).

Плотности потоков энергии для рассматриваемых волн теперь описываются выражениями:

, , . (6)

Баланс потоков энергии при переходе через границу раздела приобретает вид:

. (7)

Условие непрерывности касательных составляющих смещения записывается в форме:

. (8)

В дополнение к уравнениям (7) и (8) остаётся справедливым и уравнение (4).

Решение системы уравнений (7)-(8) и (4) приводит к соотношению:

. (9)

Соотношение (9) известно в оптике как закон тангенсов Френеля. Для амплитуды преломлённой волны получается соотношение:

. (10)

В случае нормального падения световой волны на плоскую границу раздела двух сред формулы Френеля значительно упрощаются. С помощью предельного перехода

(при этом, естественно, и получаем для абсолютных величин амплитуд колебаний в падающей, отражённой и преломлённой волн произвольной поляризации:

, . (11)

Здесь - относительный показатель преломления. Наличие отражённой световой волны можно рассматривать как «потери» светового потока при прохождении границы раздела двух сред. Примечательно, что при переходе световой волны из воздуха в стекло ( ) амплитуда отражённой волны составляет 0,2 от амплитуды падающей волны, а интенсивность, которая пропорциональна квадрату амплитуды, – всего 4% от интенсивности падающей волны. Практический вывод из этого результата: просветляющая плёнка на поверхности очков мало эффективна и практически бесполезна, заметный положительный эффект достигается только в сложных оптических многолинзовых системах при исследовании слабо светящихся объектов.

Из теории Френеля следует интересное явление, открытое экспериментально ещё в 1815 г. Дэвидом Брюстером (1781-1868). Оказывается, что при выполнении условия (угол падения при этом называют углом Брюстера) амплитуда отражённой волны обращается в нуль. Если в исходной падающей волне имели место колебания, параллельные плоскости падения и перпендикулярные ей, то в отражённой волне остались только колебания, направление которых перпендикулярно плоскости падения: из произвольной световой волны получилась плоско поляризованная световая волна.

Интересно, что Брюстер (член Лондонского Королевского общества и президент Эдинбургского Королевского общества) в своё время был больше известен как изобретатель калейдоскопа, чем своими работами в области кристаллооптики.