Итак, закон силы для покоящихся зарядов имеет вид

F=q₁q₂r/4pe₀r³ (12 2)

В природе самый важный из всех зарядов — это заряд отдель­ного электрона, он равен 1,60•10^-19 кулон. Кто работает не с большими зарядами, а с электрическими силами между фун­даментальными частицами, те предпочитают как-то выделить сочетание (q_эл)²/4pe₀, в котором q_эл определяется как заряд элект­рона. Это сочетание часто встречается, и для упрощения рас­четов его обозначают e²; его численное значение в системе СИ оказывается равным (1,52•10^-14)². Удобство пользова­ния константой в этой форме заключается в том, что сила в ньютонах, действующая между двумя электронами, запишется просто как e²/r² (r дано в метрах), без каких-либо коэффици­ентов. На самом деле электрические силы намного сложней, чем следует из этой формулы, потому что формула относится к покоящимся телам. Сейчас мы рассмотрим более общий случай.

Анализ фундаментальных сил (не сил трения, а электри­ческих сил или сил тяготения) связан с интересным и очень важным понятием.

Теория этих сил намного сложнее, чем об этом следует из закона обратных квадратов. Закон этот действует лишь тогда, когда взаимодействующие тела находятся в покое. Поэтому нужен усовершенствованный метод обращения с очень сложными силами — силами, которые возникают, когда тела начинают двигаться запутанным образом. Как оказалось, для анализа сил такого типа очень полезен подход, основанный на введении понятия «поля». Чтобы пояснить мысль на примере, скажем, электрической силы, положим, что в точке Р находится заряд q₁, а в точке R—заряд q₂. Сила, действующая между заря­дами, равна

F=q₁q₂r/r². (12.3)

Чтобы проанализировать эту силу при помощи понятия поля, мы говорим, что заряд q₁ в точке Р создает в точке R такие «условия», при которых заряд q₂, попадая в R, «ощущает» дей­ствие силы. Это один из мыслимых путей описания действия силы. Может быть, он выглядит странно: мы говорим, что дей­ствие силы F на заряд q₂ в точке R можно разбить на две части — на q₂ и Е, причем величина Е существует в точке R безотноси­тельно к тому, есть ли там заряд или нет (лишь бы все прочие заряды были на своих местах). Величина Е есть «условие», соз­данное зарядом q₁, a F — ответ, отклик заряда q₂ на Е. Вели­чину Е называют электрическим полем. Это — вектор. Формула для электрического поля Е, созданного в точке R зарядом q₁ находящимся в точке Р, такова: заряд q₁, умноженный на по­стоянную ¹/₄pe₀, деленный на r² (r — расстояние от Рдо R); поле действует по направлению радиус-вектора (вектор направпения радиус-вектора — это радиус-вектор, деленный на свою длину). Таким образом, выражение для Е таково:

Е=q₁r/4pe₀r³ . (12.4)

А затем мы пишем

F =q₂E, (12.5)

т. е. связываем силу, поле и заряд в поле. В чем же суть всего этого? Суть в том, что анализ разделяется на две части. Одна часть говорит, что что-то создает поле, а другая — что оно дей­ствует на что-то. Позволяя нам рассматривать две части не­зависимо, это разделение упрощает во многих случаях расчеты трудных задач. Когда зарядов много, то сперва мы рассчиты­ваем суммарное электрическое поле, создаваемое этими заря­дами в R, а потом, зная величину заряда, помещенного в R, находим силу, действующую на него.

Да и в случае тяготения мы можем сделать то же самое. Сила теперь F=-Gm₁m_zr/r³. Анализ полностью совпадает: сила притяжения тела в поле тяготения равна произведению массы тела на поле С. Сила, действующая на m₂, равна массе т₂, умноженной на поле С. созданное массой m₁, т. е. F = m₂C. Значит, поле С, создаваемое массой m₁, есть С =-Gm₁r/r³; оно, как и электрическое поле, направлено по радиусу.

Такое разделение на две части не так уж тривиально, как могло бы показаться на первый взгляд. Оно было бы триви­альным, было бы просто иной записью того же самого, если бы законы действия сил были совсем просты, но они очень сложны, и оказывается, что поле настолько реально, что почти не зави­сит от объектов, создающих его. Можно колебать заряд, и влияние этого (поле) скажется на расстоянии. Если колебания прекратятся, в поле все равно будут ощущаться следы этих колебаний, потому что взаимодействие двух частиц не про­исходит мгновенно. Оттого и желательно уметь запоминать, что здесь раньше происходило. Если сила действия на заряд зави­сит от того, где другой заряд был вчера и каким он тогда был, то должна быть возможность проследить за тем, что было вчера; в этом и состоит сущность поля. Чем сложнее силы, тем реаль­ней поле, и наша техника разделения становится все менее и менее искусственной.

Желая анализировать силы при помощи полей, мы нуж­даемся в законах двоякого рода. Первые—это отклик на поле. Они дают нам уравнения движения. Например, закон отклика массы на поле тяжести состоит в том, что сила равна массе, умноженной на поле тяжести, или если тело еще и заряжено, то отклик заряда на электрическое поле равен заряду, умно­женному на электрическое поле. Вторая часть анализа природы в таких положениях — это формулировка законов, определяющих напряженность поля и способ его возникновения. Эти за­коны иногда называют уравнениями поля, В нужный момент мы с ними познакомимся, а пока скажем о них лишь несколько

слов.

Вот вам для начала самое замечательное свойство поля, оно абсолютно точно и легко усваивается. Общее электрическое по­ле, создаваемое группой источников, есть векторная сумма полей, создаваемых по отдельности первым, вторым и т. д. источ­никами. Иными словами, когда поле создано множеством заря­дов и если отдельное поле первого есть Е₁, а второго —Е₂ и т. д., то мы должны просто сложить эти векторы, чтобы полу­чить общее поле. Принцип этот выражается в виде

Е = Е₁ + Е₂ + Е₃ + ... (12.6) или, в согласии с определением поля,

Можно ли эти методы применить к тяготению? Силу притя­жения двух масс m₁и m₂ Ньютон выразил в виде F=-Gm₁m₂r/r³. Но в соответствии с понятием поля можно ска­зать, что m₁создает поле С во всем окружающем пространстве и сила, притягивающая m₂, равна

F = m₂C. (12.8)

По аналогии с электричеством

и тогда поле тяжести нескольких масс равно

С = С₁+С₂+С₃+.. . (12.10)

В гл. 7, где рассматривалось движение планет, мы по существу использовали именно этот принцип. Мы складывали все векто­ры сил, чтобы обнаружить общую силу, действующую на пла­нету. Разделив на ее массу, мы и получим (12.10).

Уравнения (12.6) и (12.10) выражают так называемый прин­цип суперпозиции, или наложения полей. Этот принцип про­возглашает, что общее поле нескольких источников есть сумма полей, создаваемых каждым из них. Насколько нам ныне известно, закон этот в электричестве наверняка выполняется даже тогда, когда заряды движутся и закон сил усложняется. Бывают иногда кажущиеся нарушения, но внимательный анализ всегда доказывает, что просто забыли какой-нибудь из движущихся зарядов. Но в отличие от электрических зарядов для сильных полей тяжести он не совсем точен. В теории тяготения Эйнштейна доказывается, что уравнение Ньютона (12.10) соблюдается лишь приближенно.

С электричеством тесно связана сила другого рода, назы­ваемая магнитной; ее тоже можно анализировать через поня­тие поля. Некоторые из качественных связей между этими си­лами видны в опыте с электронной трубкой (фиг. 12.3).

Фиг. 12.3. Электронная трубка.

На одном конце трубки помещен источник, испускающий поток элект­ронов, а внутри имеется устройство, разгоняющее электроны до большой скорости и посылающее часть их на светящийся экран на другом конце трубки. Световое пятно в центре экра­на, в месте ударов электронов, позволяет проследить за их путем. На пути к экрану пучок проходит сквозь узкую щель между параллельными металлическими пластинами, располо­женными, допустим, плашмя. К пластинам подведено напря­жение, позволяющее любую из них заряжать отрицательно. Напряжение создает между пластинами электрическое поле.

В первой части опыта отрицательное напряжение подается на нижнюю пластину, т. е. на ней образуется избыток элект­ронов. Одноименные заряды отталкиваются, и поэтому светящее­ся пятно на экране взлетает внезапно вверх. (Можно сказать и иначе: электроны «чувствуют» ноле и отвечают отклоне­нием вверх.) Затем переключим напряжение и зарядим отрица­тельно уже верхнюю пластину. Световое пятно на экране опу­стится вниз, показывая, что электроны пучка отталкиваются электронами верхней пластины. (Иначе говоря, электроны «ответили» на изменение направления поля.)

Во второй части опыта напряжение на пластины уже не подается, а вместо этого проверяется влияние магнитного поля на электронный пучок. Для этого необходим подковообразный магнит, достаточно широкий, чтобы «оседлать» практически всю трубку. Предположим, что мы подвели магнит снизу к трубке, обхватили им ее и направили полюсы кверху (в виде буквы U). Мы замечаем, что пятно на экране смещается, скажем кверху, когда магнит приближается снизу. Выходит, что магнит отталкивает пучок. Но не так все просто: если мы пере­вернем магнит, не переставляя его сторон, и приблизим его к трубке сверху, то пятно снова сдвинется вверх, т. е. вместо оттал­кивания наступило притяжение. А теперь вернем магнит в пер­воначальное положение, когда он обхватывал трубку снизу. Да, пятно по-прежнему отклоняется кверху; но повернем маг­нит на 180° вокруг вертикальной оси, чтобы он имел вид буквы U, но уже с переставленными полюсами. Смотрите-ка, пятно прыгает вниз и остается там, даже если мы переворачиваем те­перь U вверх ногами.

Чтобы понять такое своеобразное поведение, нужно приду­мать какую-то иную комбинацию сил. Объясняется все это вот как. Вдоль магнита, от полюса к полюсу, тянется магнитное поле. Оно направлено всегда от одного определенного полюса (который можно снабдить какой-нибудь меткой) к другому. Вращение магнита вокруг его оси не меняет направления поля, а перестановка полюсов местами меняет. Например, если электроны летят горизонтально по оси х, а магнитное поле тоже горизонтально, но направлено по оси у, то магнитная сила, действующая на движущийся электрон, направлена по оси z (вверх или вниз, это уже зависит от того, как направлено поле — по оси у или против нее).

Мы пока не дадим полного закона сил взаимодействия заря­дов, движущихся друг относительно друга в произвольных на­правлениях, потому что он чересчур сложен, но зато приведем формулы для случая, когда поля известны. Действие силы на заряженный предмет зависит от его движения; когда предмет неподвижен, сила, действующая на него, считается пропорцио­нальной заряду с коэффициентом, называемым электрическим полем. Когда тело движется, сила изменяется, и поправка, но­вый «кусок» силы, оказывается линейно зависящей от скорости и направленной поперек скорости v и поперек другой вектор­ной величины — магнитной индукции В. Когда составляющие электрического поля Е и магнитной индукции В суть соответ­ственно (Е_х, Е_у, Е_г,) и (В_х, B_y, B_z), a составляющие скорости v суть (v_x, v_y, v_z), то составляющие суммарной электрической и магнитной сил, действующих на движущийся заряд q, таковы:

Если случайно магнитное поле имеет только компоненту B_y, а скорость — только v_x, то у магнитной силы остается состав­ляющая вдоль z, поперек В и у.

Псевдосилы

Очередной тип сил, который нам предстоит рассмотреть,— это псевдосилы.

В гл. 11 мы обсудили взаимоотношение двух молодых людей, Джо и Мика, обладателей различных систем координат. Пусть положение частицы по измерениям Мика есть x, а Джо дает для нее х'; тогда связь между ними такова:

x=x'+s, y=y' z=z',

где s показывает, насколько сместилась система Джо отно­сительно системы Мика. Пусть у Мика в системе выполняются законы движения. Как они выглядят для Джо? Сперва мы обна­ружим, что

Раньше мы считали s постоянной и убедились, что законы дви­жения при этом не меняются, так как ds/dt=0; в конечном сче­те в обеих системах все законы физики одинаковы. Но пусть s = ut, где u — постоянная скорость движения по прямой. Тогда s непостоянна и ds/dt — не нуль, а u, т. е. константа. Но ускоре­ние d²x/dt² такое же, как d²x'/dt², потому что du/dt =0. Этим до­казывается закон, использованный в гл. 10, а именно: когда мы движемся по прямой с постоянной скоростью, все законы фи­зики выглядят так, как если бы мы стояли. Это преобразова­ние Галилея. А теперь мы хотим рассмотреть случай поинтерес­нее, когда s зависит от времени еще сложнее, например s=at²/2. Тогда ds/dt=at, а d²s/dt²=a, т. е. ускорение по­стоянно; можно рассмотреть также случай, когда ускорение само оказывается функцией времени. Это значит, что хотя закон силы с точки зрения Джо выглядит как

но закон силы, по мнению Мика, иной:

Иначе говоря, поскольку система координат Мика ускоряется по отношению к системе Джо, появляется добавочный член ma.Чтобы работать с законами Ньютона, Мик обязан подправить силы, ввести в них этот член. Другими словами, появляется кажущаяся, мистическая, новая сила неведомого происхожде­ния; она возникает, конечно, из-за того, что у Мика координат­ная система неправильна. Это — пример псевдосилы; с другими примерами можно встретиться, если система координат вращается.

Примером псевдо- (как бы-, вроде-) силы является хорошо известная «центробежная сила». Наблюдатель во вращающейся системе координат (во вращающемся ящике) обнаружит таин­ственные силы, не вызываемые ни одним из известных источ­ников сил; они отбрасывают предметы к стенке ящика. А объяс­няются они просто тем, что у наблюдателя нет ньютоновой си­стемы координат — простейшей из всех.

Псевдосилы обнаруживаются на любопытном опыте, состоя­щем в том, что мы толкаем с ускорением кувшин с водой по столу. Тяжесть действует на воду вниз, но из-за горизонталь­ного ускорения есть еще и псевдосила в горизонтальном направ­лении, назад по отношению к ускорению. Сумма силы тяжести и псевдосилы образует угол с вертикалью, во время ускорения поверхность воды перпендикулярна к этой сумме сил, т. е. наклонена под углом к столу, и вода приподнята к задней стенке кувшина. Когда мы перестаем толкать кувшин, когда он замед­ляется вследствие трения, псевдосила меняет свое направление и вода приливает к передней стенке кувшина (фиг. 12.4).

Фиг. 12.4. Иллюстрация к псевдосилам

Очень важным свойством псевдосил следует считать то, что они всегда пропорциональны массам; то же справедливо и для тяжести. Существует поэтому возможность, что тяжесть — это тоже псевдосила. Не может ли статься, что тяготение вызы­вается отсутствием правильной системы координат? Ведь мы всегда можем получить силу, пропорциональную массе, стоит только представить, что тело ускоряется. Например, человек, помещенный в ящик, который стоит на земле, обнаруживает, что его что-то прижимает к полу с силой, пропорциональной его массе. Если бы земли не было вовсе, а ящик все еще поко­ился, то человек плавал бы в пространстве. С другой стороны, если бы опять не было земли, а ящик кто-то тащил бы вверх с ускорением g, то человек в ящике, анализируя физику этого явления, обнаружил бы псевдосилу, прижимающую его к полу точно так же, как это делает тяжесть.

Эйнштейн выдвинул знаменитую гипотезу, что ускорение вызывает имитацию (подобие) тяготения, что силы ускорения (псевдосилы) нельзя отличить от сил тяготения; нельзя сказать, какая часть данной силы — тяжесть, а какая — псевдосила.

Казалось бы, ничто не мешает считать тяжесть псевдосилой, говорить, что нас прижимает вниз оттого, что нас ускоряет вверх; но как быть с жителями Новой Зеландии, на другой сто­роне Земли — их-то куда ускоряет? Эйнштейн понял, что тя­готение можно считать псевдосилой одновременно только в одной точке; его рассуждения привели к предположению, что геометрия мира сложнее обычной геометрии Евклида. Наше обсуждение вопроса чисто качественное и не претендует ни на что, кроме общей идеи.

Чтобы пояснить в общих чертах, как тяготение может быть результатом действия псевдосил, мы приведем чисто геометрический пример, ничего общего не имеющий с истин­ным положением вещей. Предположим, что мы с вами обитаем в двумерном мире и ничего о третьем измерении не знаем. Мы бы считали, что живем на плоскости, а на самом деле, предположим, жили бы на шаре; пускай теперь мы бросили предмет вдоль нашей поверхности, не действуя больше на него никакими силами. Как бы он двигался? Нам казалось бы, что он движется по прямой линии, но поскольку третьего измерения нет и он должен был бы оставаться на поверхности шара, то он двигался бы по кратчайшему расстоянию на сфере, т. е. по окружности большого круга. Бросим точно так же другой пред­мет, но в ином направлении; он направится тоже по дуге боль­шого круга. Мы думаем, что находимся на плоскости, и наде­емся поэтому, что расстояние между двумя предметами будет расти линейно с течением времени. Но тщательные наблюдения вдруг обнаружат, что на достаточно большом расстоянии пред­меты снова начнут сближаться, как если бы они притягивали друг друга. Но они не притягиваются один к другому; все дело в геометрии, это с нею происходит что-то «чудное». Хотя эта картинка и не касается геометрии Евклида (не показывает нам, что в ней есть «чудного»), но она показывает, что, заметно иска­зив геометрию, можно все тяготение отнести за счет псевдосилы. В этом и состоит общая идея теории тяготения Эйнштейна.

Ядерные силы

Мы заключим эту главу кратким обзором единственных ныне известных сил, отличающихся от перечисленных,— ядерных сил. Эти силы действуют внутри ядра атома, и, хотя их много изучали, никто ни разу еще не смог рассчитать силу, действую­щую между двумя ядрами; и фактически закон ядерных сил сей­час не известен. Эти силы имеют крайне незначительную протя­женность действия — они действуют только на размерах ядра около 10^-13 см. Поскольку частицы столь малы, а расстояния так коротки, нам нечего надеяться на законы Ньютона — здесь действуют только законы квантовой механики. Анализи­руя ядра, мы больше не говорим о силах; мы заменяем понятие силы понятием энергии взаимодействия двух частиц (позже об этом будет сказано подробнее). Любые формулы, которые можно написать для ядерных сил, представляют довольно грубые приближения, в которых опущены многие детали взаимодействия; выглядят они примерно так: силы внутри ядер убывают не обратно квадрату расстояния, а отми­рают экспоненциально за некоторым расстоянием r₀ (порядка 10^-13 см) как F=(l/r²) exp(-r/r₀). Иначе говоря, чуть частицы удалятся, как силы тут же исчезают, хотя ближе 10^-13 см они очень велики. По-видимому, законы ядерных сил сложны до чрезвычайности; мы их не понимаем, и вся задача анализа фун­даментального механизма, стоящего за ними, не решена. Попыт­ки решить эту задачу привели к открытию множества необыч­ных частиц, например p-мезонов, но происхождение сил все равно остается темным.