Метод Эйлера с уточнением

Для повышения точности метода Эйлера применяют следующий прием. Сначала находят приближенное значение решения по методу Эйлера

,

а затем уточняют его по формуле

Этот метод называется методом Эйлера-Коши, и рекуррентные соотношения для его реализации могут быть записаны в виде:

(7.7)

Метод Эйлера-Коши имеет погрешность порядка O(h²). Геометрическая иллюстрация метода Эйлера-Коши дается на рис. 7.2. Очередное приближение метода Эйлера-Коши соответствует точке пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на двух звеньях ломаной метода Эйлера.

Метод Эйлера-Коши является одним из частных случаев методов Рунге-Кутта, которые рассмотрены в следующем пункте.

Рис.7.2

Методы Рунге-Кутта

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши — метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x₁ можно записать в виде:

. (7.8)

Вторую производную можно выразить через производную функции f(x, y), однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

,

соответственно подбирая значения параметров . Тогда (7.8) можно переписать в виде

, (7.9)

где α, β, γ и δ — некоторые параметры. Рассматривая правую часть (7.9) как функцию аргумента h, разложим её по степеням h:

,

и выберем параметры α, β, γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (7.8). Отсюда следует, что

α + β = 1, αγ = 0,5, αδ = 0,5 f(x₀, y₀).

С помощью этих трех уравнений выразим β, γ и δ через параметр α, тогда получим

(7.10)

Теперь, если вместо (x₀, y₀) в (7.10) подставить (x₁, y₁), то получим формулу для вычисления y₂ — приближенного значения искомой функции в точке x₂.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [x₀, X] на n частей, т.е. с переменным шагом

(7.11)

Параметр α выбирают равным 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α = 1:

(7.12)

и α = 0,5:

(7.13)

Дадим геометрическую интерпретацию методов Рунге-Кутта (7.12), (7.13).

На рисунке 7.3 а) иллюстрируется формула (7.12). Сначала по методу Эйлера вычисляется приближенное значение в точке x_i + h_i/2. В этой точке определяется касательная к интегральной кривой, параллельно которой через точку (x_i, y_i) проводится прямая до точки пересечения с прямой x = x_{i + 1}. Ордината точки пересечения y_{i + 1} принимается за приближенное значение искомого решения в точке x_{i + 1}.

Рисунок 7.3 б) интерпретирует формулу (7.13). Методом Эйлера вычисляется приближенное значение в точке x_i+1. В этой точке тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой равен выражению . Через точку (x_i, y_i) проводится прямая, тангенс угла наклона которой определяется как полусумма угловых коэффициентов касательных, проведенных через точки (x_i, y_i) и . За приближенное значение искомого решения в точке x_i+1 принимается ордината точки пересечения этой прямой с прямой x = x_i+1.

Отметим, что метод (7.13) совпадает с методом Эйлера-Коши (7.7).

Рис.7.3.

Теорема 7.1. Если правая часть f(x, y) уравнения (7.1) непрерывна и ограничена вместе со своими производными до второго порядка включительно, то решение, полученное по формулам (7.12), (7.13), равномерно сходится к решению задачи (7.1), (7.2) с погрешностью .

Приведем наиболее употребительные формулы метода Рунге-Кутта, формулы четвертого порядка точности:

(7.14)

Пример 7.2. Решить методом Рунге-Кутта (7.12) задачу Коши из примера 7.1:

Решение в программе Excel. В таблице 7.4 приведены результаты применения метода Рунге-Кутта второго порядка (7.12) с шагом h = 0,1.

Сравнивая таблицы 7.2 и 7.4 можно увидеть, что метод Рунге-Кутта второго порядка (7.12) с шагом h = 0,1 дает лучшие результаты, чем метод Эйлера с шагом 0,01.

Таблица 7.4

Создадим функцию для вычисления решения задачи Коши (7.1), (7.2) методом Рунге-Кутта четвертого порядка (7.14):

Function Runge_Kutta4(ByVal x0, ByVal y0, ByVal x, ByVal n)

h = (x - x0) / n

For i = 1 To n

k1 = fxy(x0, y0)

k2 = fxy(x0 + h / 2, y0 + h * k1 / 2)

k3 = fxy(x0 + h / 2, y0 + h * k2 / 2)

k4 = fxy(x0 + h, y0 + h * k3)

y1 = y0 + h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

x0 = x0 + h: y0 = y1

Next i

Runge_Kutta4 = y0

End Function

В таблице 7.5 приведены результаты решения задачи Коши методом Рунге-Кутта четвертого порядка (7.14) с параметром n = 10, т.е. на каждом этапе вычисления y_i применялся шаг h = 0,01. Поэтому абсолютные ошибки очень малы.

Таблица 7.5

Создадим в программе Mathcad функции для решения задачи Коши методом Рунге-Кутта и вычислим решение в точке x = 2 с шагом h = 0,01 (n = 100):

Сравните этот результат со значением, полученным в Excel.