Естественный способ задания движения

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Траектория принимается в качестве криволинейной оси. На траектории выбирается точка О, принимаемая за начало отсчета расстояний, и положительное направление отсчета (например, вправо, рис. 2.3). Закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния s, отсчитываемого от точки О до точки М, то есть . Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Расстояние s , берется по траектории.

Рисунок 2.3

Для определения скорости и ускорения необходимо ввести некоторые геометрические понятия. На рис. 4 показаны две близкие точки М и М₁ пространственной кривой и проведены касательные к кривой в этих точках М и М₁. В точке М проведена прямая параллельная М₁.

Рисунок 2.4

Угол Δφ между смежными касательными называется углом смежности. Кривизной кривой в точке М называется предел .

Радиусом кривизны кривой в точке М называют величину, обратную кривизне кривой .

Введем естественные оси кривой (рис.2.5). Первой естественной осью является касательная Мτ. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной , направленного в сторону возрастающих расстояний. Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость. Нормаль Mn, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направляется единичный вектор . Он определяет положительное направление второй естественной оси. Нормаль Mb, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. По бинормали направлен единичный вектор таким образом, чтобы три вектора , , образовывали правую систему осей координат. Оси Mτ, Mn, Mb называются естественными осями кривой.

Рисунок 2.5

При движении точки по траектории ее радиус-вектор изменяется с течением времени, и изменяется в зависимости от расстояния S (рис.2.6).

Рисунок 2.6

Используя определение скорости, получим или

, (2.12)

где - единичный вектор касательной.

Учитывая, что для скорости точки имеем , в соответствии с определением ускорения получаем

Учитывая математическое выражение , получим

, (2.13)

где ,

ρ - радиус кривизны

- единичный вектор главной нормали.

Часть ускорения называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения называется нормальной составляющей ускорения.

Таким образом ускорение точки при естественном способе задания —

где - касательное ускорение,

- нормальное ускорение

Учитывая ортогональность и получим следующее выражения для модуля полного ускорения и угла между полным ускорением и нормалью

.

Нормальная составляющая ускорения всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая при направлена в положительную сторону касательной, а при - в отрицательную, то есть противоположно .

Пример определения скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t₁c найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Решение. Уравнения движения являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Из этих уравнений получим

(2.16)

Подставляя в тригонометрическое тождество выражения (2.16) , получим или

(2.17)

Это выражение есть уравнение смещенного эллипса с полуосями a=3 сми b=5 см. Центр эллипса находится в точки с координатами x=2 см и y=1 см. (рис. 2.7). В начальный момент ( ) времени по уравнениям (2.14) и (2.15) получим координаты начальной точки М₀

Для заданного момента времени t=t₁=1 c получим

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

Для заданного момента времени t=t₁=1 c получим

Модуль скорости точки

(2.18)

Аналогично проекции ускорения точки

Для заданного момента времени t=t₁=1 c получим

Модуль ускорения точки

Координаты точки, а также ее скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для заданного момента времени t=1 с приведены в таблице 1.

Таблица 1

Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (2.18):

При t=1с

Следовательно, модуль касательного ускорения .

Знак «-» при dV/dt показывает, что движение точки замедленное. Нормальное ускорение точки в данный момент времени

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t=1 находится точка М, .

Пользуясь уравнением (2.17), строим траекторию (рис. 2.7) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим , причем этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки. Вектор cтроим как по составляющим , так и по составляющим , чем контролируется правильность вычислений.

Рисунок 2.7