Примеры решения задач
Задача 1. Пусть X=[0,1[´[0,1[, S – полукольцо прямоугольников, принадлежащих , вида Tab=[a,b[´[0,1[. Положим m(Tab) = b–a. Найти внешнюю меру множества и выяснить, является ли оно измеримым. Описать явный вид лебеговского продолжения меры.
Решение.По определению внешняя мера А
m*(A)= , где любой элемент полукольца S имеет вид , т.е. полностью определяется своей проекцией на ось OX. Чтобы покрыть множество А элементами , необходимо и достаточно покрыть проекцию этого множества на ось OX полуинтервалами . Поэтому внешняя мера множества А в данном случае совпадает с внешней мерой проекции этого множества на ось OX.
,
;
и .
Следовательно, множество А неизмеримо. Из приведенных выше рассуждений видно, что множество будет измеримым тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид b ´ [0,1[ и b Ì [0,1[ – измеримо по Лебегу.
Задача 2. Пусть X= [0,1[´[0,1[, S={[a,b[´[c,d[ÌX}, m([a,b[´[c,d[) = = (b-a)(d-c). Вычислить внутреннюю и внешнюю меры множества .
Решение.По определению
m*(A)= , A , т.е. прямоугольники, , где k=0, 1, 2,¼, n-1, образуют для каждого n покрытие множества А. Имеем:
m*(A)£ .
Величина Sn является верхней суммой Дарбу для функции f(x)=1–x на отрезке ,соответствующей разбиению отрезка на n частей. Для функции f существует интеграл Римана, поэтому
.
Переходя к пределу при n®¥ в неравенстве m*A £ Sn, которое выполняется для всех n, получим m*A£1/2. С другой стороны m*(X\A)£ , т. к. X \ A Ì , и m*(X \ A) £ .
Поэтому m* A = mX–m* (X \ A) ³ 1–1/2 = 1/2. Имеем:
.
Задача 3. Пусть , – полукольцо, F:X®R – неубывающая непрерывная слева на Х функция. Определим на меру Лебега-Стилтьеса равенством: .
Описать класс измеримых подмножеств из Х, найти меру Лебега-Стилтьеса каждого множества А, если
Решение.Из определения меры mF на полукольце S следует, что , если полуинтервал не содержит точку x = 0, и , если . Распространим меру mF на минимальное кольцо K(S). Если A Î K(S), то , Ai = [ai,bi[. Поэтому если 0 A, то 0 [ai,bi[ для всех i = и . Если , то найдётся только один полуинтервал , содержащий x = 0, с мерой 1, и . Следовательно, мера каждого элемента кольца равна либо 0, либо 1. Поскольку F(x) непрерывна слева, то mF s-аддитивна и допускает продолжение.
С этой целью найдём вначале внешнюю меру множества . По определению
(A)= ,
где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям множества элементами полукольца .
Если , то, рассматривая покрытия (0,1) = , имеем . Поскольку m*A ³ m*A, то измеримо относительно меры mF и его мера равна нулю. В силу полноты меры будет измеримым и любое подмножество интервала (0,1) и его мера будет также равна нулю.
Если рассмотреть одноточечное множество , то для каждого его покрытия множествами имеется хотя бы одно из них, содержащее точку x = 0. Поэтому и . Далее, пользуясь покрытием [-1,1[ É {0}, получаем, что . Таким образом, .
Рассмотрим теперь произвольное множество . Из свойств монотонности внешней меры следует, что , если A Ì (0,1) или A Ì [-1,0). Если же {0} Ì A, то . Рассматривая в этом случае покрытие [-1,1[, имеем . Следовательно, если {0} Ì A, то .
Покажем теперь, что произвольное множество измеримо относительно меры Лебега-Стилтьеса. Действительно, A Ì (0,1) или AÌ [-1,0), то и оно измеримо. Если же {0} Ì A, то из неравенства , справед-ливого для каждого e > 0, заключаем, что множество А mF-измеримо, .
Задача 4. Пусть X = R2, S = {Dkn=[k, k+1[´[n, n+1[: k, n Î Z}, m(Dkn)=1. Найти внешнюю меру множества
.
Будет ли множество А измеримым?
Решение.Множество Х является пространством с s-конечной мерой, т.к. X= , , здесь .
По определению множество А измеримо, если измеримо A1=A D11, A2 = A D21, A3 = A D31, тогда A1 = {0 £ x < 1, y = 1}; A2={1£ x < 2, y = 1}; A3 = {x = 2, y = 1}.
По определению m*(A1) = , тогда , т.к. покрытие, на котором достигается точная нижняя грань, образует множество D11, , . Поэтому A1, и, следовательно, A не измеримо. Очевидно, что m*(A)= 3, т.к. покрытие A состоит из D11, D21, D31.
Задача 5. Каково строение и какая мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.
Решение.Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0,1] на десять равных частей и выбрасываем полуинтервал [0.4, 0.6]. Затем каждый из оставшихся восьми полуинтервалов делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них соответствующий полуинтервал [0,n14; 0,n16[, где n1 = 0,1,2,3,6,7,8,9 и т.д. Данное множество нигде не плотно, каждая его точка является предельной, т.е. множество является совершенным. Вычислим меру выбрасываемых промежутков, посчитав тем самым меру дополнения к искомому множеству:
.
Следовательно, мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5, равна 0.
Задача 6. Найти меру множеств
1) 2)
Решение.1) Представим множество А в виде объединения попарно непересекающихся интервалов. Для этого выясним, начиная с какого номера n интервалы будут пересекаться. Заметим, что для всех n, и поэтому интервалы не могут быть вложены друг в друга. Решая неравенство , находим n ³ 3. Поэтому представим А в виде , где ,
, , тогда .
2) Пусть .
Множество В борелево и поэтому измеримо. Множество Q счётное и имеет меру нуль, значит . Множества – непересекающиеся при любом .
Согласно свойству s-аддитивности меры: . Таким образом, .
Задача 7. Вычислить меру множества А:
,
где a > 0 – фиксированное число.
Решение.Множество A Ì R2 открыто и поэтому измеримо. Множество А рассматривается в пространстве с s-конечной мерой, поэтому построим возрастающую последовательность множеств .
Тогда .
.
Задание 1. Пусть , . Найти внешнюю и внутреннюю меры множеств и выяснить, измеримы ли они.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
Задание 2. Пусть X =[-2,2[, ={[a,b[ÌX}, – её продолжение по Лебегу.
а) Найти меру множества, состоящего из одной точки.
б) Выяснить, является ли множество А измеримым, найти его меру.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5. A=[0,3/4];
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14. A=[-1,2);
Задание 3. Описать структуру множества A Ì [0,1] и найти его меру.
3.1. Множество точек отрезка [0,1], состоящее из чисел, у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.
3.2. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры 1,2,…9.
3.3. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит хотя бы одну цифру 3.
3.4. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.
3.5. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 3,3,3.
3.6. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7.
3.7. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых не содержит цифры 2.
3.8. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит цифру 5 только один раз.
3.9. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех чётных местах стоят нули.
3.10. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех нечётных местах стоят единицы.
3.11. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 3.
3.12. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 0.
3.13. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых невозможно без цифры 4.
3.14. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 2,2,2,2.
Задание 4. Доказать, что множество измеримо и найти его меру.
4.1. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек, декартовы и полярные координаты которых иррациональны.
4.2.
4.3. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что - иррационально.
4.4.
4.5.
4.6. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .
4.7.
4.8.
4.9.
4.10. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .
4.11. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .
4.12.
4.13.
4.14.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Пусть Z – множество целых чисел. Задает ли данная формула меру на Р (Z) | | | Сходимость по мере. |
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 477;