Графическое представление энергии

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела (движение вдоль определенной кривой), потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т.е. П = П(х). График зависимости потенциальной энергии от данного аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тел.

Будем рассматривать только замкнутые консервативные системы, т. е. системы, в которых взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (13.2). Рассмотрим графическое представление потенциальной энергии для тела в однородном поле тяжести и для упругодеформированного тела.

Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, согласно (12.7), П(h)=mgh. График данной зависимости П=П(h)— прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 16), угол наклона которой к оси h тем больше, чем больше масса тела (так как tga = mg).

Если полная энергия тела равна Е (прямая, параллельная оси h), то оно на высоте h обладает потенциальной энергией П, которая определяется отрезком вертикали, заключенным между точкой h на оси абсцисс и графиком П(h). Естественно, что кинетическая энергия Т задается отрезком вертикали между графиком П(h) и горизонтальной прямой ЕЕ. Из рис. 16 следует, что при h = h_max Т= 0 и П = E =mgh_max, т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

Из приведенного графика можно найти и скорость тела на высоте h:

т.е.

откуда

Зависимость потенциальной энергии П упругодеформированного тела от деформации х имеет вид параболы (рис. 17), где заданная полная энергия тела Е определяется горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс х, а значения Т и П задаются так же, как на рис. 16. Из рис. 17 следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия тела возрастает, а кинетическая — уменьшается. Абсцисса х_max определяет максимально возможную деформацию растяжения тела, а—x_max— максимально возможную деформацию сжатия тела. При и , т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

Скорость υ упругодеформированного тела можно определить, как и в предыдущем случае:

,

,

Из анализа графика на рис. 17 вытекает, что при полной энергии тела, равной E, тело не может сместиться правее x_max, и левее (—x_max), так как кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной и, следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальнойямес координатами В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рис. 18). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е — заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где П(х)£Е, т.е. в областях / и III. Переходить из области / в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер CDG, ширина которого равна интервалу значений х, при которых Е<П, а его высота определяется разностью П_max — Е. Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области / частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме АВС и совершает колебания между точками с координатами х_а и Х_c.