Площадь криволинейной трапеции

Фигура, ограниченная на отрезке графиком функции и прямыми называется криволинейной трапецией.

Теорема: если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна определённому интегралу Числовое значение, полученное при вычислении площади должно быть положительным.

Примеры вычисления площади криволинейной трапеции

Пример 1. Найти площадь трапеции, указанной на рисунке штриховкой.

Пояснение: Заштрихованная фигура (трапеция) ограничена сверху функцией ; снизу – функцией (ось Ох); слева и справа прямыми

Решение: 1) В формулу площади подставляем подинтегральную функцию, указанную на графике и пределы интегрирования 2) Вычисляем интеграл. Ответ:

Пример 2 (без рисунка)

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией и

Решение:

1) Пределы интегрирования заданы условиями задачи:

2) Подинтегральная функция задана уравнением .

3) Находим площадь криволинейной трапеции по формуле:

Пример 3 (

без рисунка)

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной функциями .

Пояснение: Усложнение в том, что указаны ДВЕ функции. Какую из них подставлять в интеграл?

Кроме того, НЕ указаны пределы интегрирования.

Поэтому решение состоит из трёх шагов: 1) найти пределы интегрирования; 2) определить подинтегральную функцию; 3) вычислить интеграл (найти площадь криволинейной трапеции).

Решение:

1) Находим пределы интегрирования: для этого приравниваем функции и решаем уравнение

относительно . Найденные значения и будут пределами интегрирования)

Пределы интегрирования:

2) Определяем подинтегральную функцию: для этого из выше лежащей функции вычитаем нижележащую

функцию:

3) Находим площадь криволинейной трапеции по формуле: