СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Следствие 1: Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: М, а, М Ï а

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I₁): АÎ а, ВÎ а.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I₄): a = МАВ.

Так как точки А, В принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I₃): а Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .

2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I₄).

Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: а, b, а ´ b

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .

Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I₁): АÎ а, ВÎ b.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I₄): a = МАВ.

Так как точки А, М принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I₃): АМ = а Ì a .

Так как точки В, М принадлежат плоскости a , то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I₃): ВМ = b Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .

2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I₄).

Определение: Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.

Следствие 3: Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: а, b,

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

<123 4 5 6 7 >

Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 3695;