Численное интегрирование

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Постановка задачи численного интегрирования

2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

3. Формулы прямоугольников

4. Формула трапеций

5. Формула Симпсона

6. Квадратурные формулы Гаусса

7. Метод Монте-Карло

1. Постановка задачи численного интегрирования

Требуется вычислить определённый интеграл вида , причём функция может быть задана как в виде формулы, так и в виде таблицы.

· Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

,
где - коэффициенты Котеса.
Эти формулы дают на одном участке интегрирования различные представления для различного числа n отрезков разбиения.

· Формулы прямоугольников

Пусть требуется вычислить интеграл .
Если отрезок интегрирования [a; b] достаточно велик, то нужно разбить его на более мелкие отрезки равной длины , где n - число отрезков, и заменяя на каждом из отрезков криволинейную трапецию прямоугольником, вычислить площади этих прямоугольников. Затем полученные площади нужно сложить, эта сумма и будет принята за приближённое значение искомого интеграла.
Что касается построения прямоугольников, то их можно строить по-разному: можно проводить перпендикуляр до пересечения с кривой f (x) из правого конца каждого отрезка (Рис. 1), можно - из левого конца (Рис. 2)

Рис. 1

Рис. 2

В зависимости от этого формулы для вычисления несколько различны и носят название формулы прямоугольников с правыми или левыми ординатами соотвественно:

(формула "правых" прямоугольников)

(формула "левых" прямоугольников)
Существует ещё формула "средних" прямоугольников: , для которой построение прямоугольников осуществляется через середины каждого из отрезков разбиения:

· Формула трапеций

Идея метода аналогична той, что представлена в методе прямоугольников. Отличие заключается в том, что на каждом отрезке разбиения криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой вычисляется по формуле

, где o1 и o2 - основания трапеции. Вычисляя и суммируя площади всех трапеций, получаем приближённое значение искомого интеграла:

· Формула Симпсона

Заменяя на каждом отрезке разбиения часть кривой y =_{f (x)} на параболическую кривую, вычисляя площади получившихся фигур и суммируя их, получим формулу Симпсона:

_·

· Квадратурные формулы Гаусса

Традиционно при получении квадратурных формул Гаусса в исходном интеграле выполняется замена переменной, переводящая интеграл по отрезку [a; b] в интеграл по отрезку [-1; 1]:

.
Тогда _. Будем использовать линейную интерполяцию подынтегральной функции.
Если вместо отрезка [-1; 1] взять в качестве узлов интерполяции подвижные узлы t1, t2, то нужно выбрать эти значения так, чтобы площадь трапеции, ограниченнной сверху прямой, проходящей через точки A1 (t1, φ(t1) ) и A2 (t2, φ(t2) ) была равной интегралу от любого многочлена некоторой наивысшей степени.
Полагая, что это многочлен третьей степени, вычислим t1, t2, которые получаются равными и , отличаясь лишь нумерацией значений.
Далее разбивая отрезок интегрирования на n частей, применяя к каждому из них описанную выше идею, можно получить формулу Гаусса:

· Метод Монте-Карло

Идея метода: Пусть f (x) > 0 (для простоты рассуждений). Возьмём число M, такое чтоf (x)

M для любого x из отрезка [a; b]. На графике - это прямая y = M. Используя счётчик случайных чисел можно получить точки, случайно и равномерно распределённые в прямоугольнике, образованном:

отрезком [a; b] оси Ох
отрезком, принадлежащим прямой y = M длины b-a
отрезками, принадлежащими прямым х = a и x = b, заключёнными между осью Ох и прямой y = M.

Координаты таких точек вычисляются по формулам: .
Если найдено таким образом n точек и k из них принадлежит криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью Ох, то, с учётом того, что при больших n распределение точек по прямоугольнику близко к равномерному, то отношение k / nприближённо равно отношению площади криволинейноё трапеции к площади прямоугольника:
При этом