Численное дифференцирование

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Постановка задачи численного дифференцирования

2. Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул Ньютона

3. Оценка погрешности дифференцирования с помощью многочлена Ньютона

4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа

5. Оценка погрешности численного дифференцирования с помощью многочлена Лагранжа

  1. Постановка задачи численного дифференцирования

Функция y = f(x) задана таблицей:

x x0 x1 ... xn
y y0 y1 ... yn

на отрезке [a; b] в узлах a = x0 < x1 < x2 < : <xn =b</x. Требуется найти приближенное значение производной этой функции в некоторой точке х* [a; b]. При этом х* может быть как узловой точкой, так и расположенной между узлами.

· Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул Ньютона

Считая узлы таблицы равноотстоящими, построим интерполяционный полином Ньютона. Затем продифференцируем его, полагая, что f '(x) φ'(x) на [a; b]:

(1)
Формула значительно упрощается, если производная ищется в одном из узлов таблицы:х* = xi = x0 + ih:
(2)
Подобным путём можно получить и производные функции f (x) более высоких порядков. Однако, каждый раз вычисляя значение производной функции f (x) в фиксированной точке х в качестве х0 следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.

· Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа

Запишем формулу Лагранжа для равноотстоящих узлов в более удобном виде для дифференцирования:

Затем, дифференцируя по х как функцию от t, получим:

Пользуясь этой формулой можно вычислять приближённые значения производной таблично-заданной функции f (x) в одном из равноотстоящих узлов.
Аналогично могут быть найдены значения производных функции f(x) более высоких порядков.







Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 704; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.005 сек.