Численные методы решения систем линейных уравнений

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Метод простой итерации.

2. Метод Зейделя.

3. Метод исключения Гаусса.

  1. Метод простой итерации

Пусть дана система линейных уравнений (1),
где
Предполагая, что aii 0 (i = 1, :,n) разрешим её относительно x1, x2,:, xn:
(2),
где βi = bi / aii, tij = -aij / aii, при i j, tij = 0 при i = j.
Систему (2) можно записать в виде ( 2' ).

Теорема. Если матрица Т удовлетворяет одному из условий:
с ,
то система уравнений (2) имеет единственное решение, которое может быть получено как предел последовательности, построенной по формулам , k = 1, 2, :, начиная с произвольного x(0) = ( x1(0), x2(0), :, xn(0) ).
Процесс уточнения корня заканчивается, когда выполняется условие ,i = 1, :, n, где E - допустимая погрешность вычисления. При этом x(k) = ( x1(k), x2(k), :, xn(k) ) - решение системы (1).

· Метод Зейделя

Пусть дана система линейных уравнений (1). Сведём систему (1) к системе (2). Зададим некоторые начальные приближения неизвестных x1(0) = β1, x2(0) = β2, :, xn(0) = βn.
Подставим их в правые части системы и вычислим новые приближения, при этом будем использовать приближения к решениям, найденные при выполнении текущей итерации, т.е.


Аналогичным образом проводим вторую итерацию и т.д.
Процесс уточнения корня заканчивается, когда выполняется условие ,k = 1, :, n, где E - допустимая погрешность вычисления.
Замечание: при решении системы линейных уравнений методом Зейделя итерационный процесс будет сходящимся лишь в случае, если для каждого уравнения выполняется условие , i = 1, :, n, однако в сумму не входит слагаемое aij c равными i и j. При этом хотя бы одно неравенство должно выполняться строго. Это условие является достаточным условием сходимости метода Зейделя.

· Метод исключения Гаусса

(рассматривается решение систем уравнений данным методом и вычислений обратной матрицы с помощью метода Гаусса).

Метод исключения Гаусса относится к прямым методам решения систем линейных уравнений.
Идея этого метода заключается в том, чтобы исходную систему линейных уравнений (1) с произвольной матрицей А свести некоторыми эквивалентными преобразованиями к системе вида (2), где Ā - треугольная матрица.
Затем из последнего уравнения системы (2) находится xn, из предыдущего - xn-1 и т.д.
Вычисление обратной матрицы с помощью метода Гаусса:
Пусть xi - i-ый столбец искомой обратной матрицы, ei - i-ый столбец единичной матрицы.
Т.к. A · A-1 = E, то , при i = 1, 2, :, n. Задача нахождения обратной матрицы сводится к задаче решения n систем n линейных уравнений с одной и той же матрицей A, но с разными правыми частями.






Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 216; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.006 сек.