Квадратичная аппроксимация (или квадратичное приращение)
Линейное отображение:
- линейное отображение, если:
1. свойство аддитивности - ;
2. свойство однородности -
Линейное отображение можно задать матрицей:
т
; ;
п - основная формула
1
i
|
j
|
отображение
2 задачи:
- решение системы уравнений
и обратное отображение – найти х
А-1 – обратное отображение;
следовательно строки матрицы ортогональны столбцам
другой матрицы
- нахождение собственных значений
Используя матрицу можно найти более сложную функцию : - квадратичная форма.
- функция нескольких переменных .
Рассмотрим подробнее.
Есть матрица:
- квадратичная форма
А и А/ определяют одну и ту же квадратичную форму следовательно значения этой формы не однозначно. Если по заданной квадратичной форме найдем симметрию, то она будет однозначная.
;
;
Без ограничения общности можно считать, что матрица определяющая квадратичную форму является симметричной.
Вернемся к квадратичной форме:
Рассмотрим функцию 2-го порядка:
Допустим, что , матрица диагональная.
1. | |
Эллипсы | Эллиптический парабалоид |
2. | |
3. | |
Гиперболы | Седло |
Допустим, что . Тогда вся картина просто повернется на некоторый угол по оси Z.
Рассмотрим п-мерный случай.
Квадратичная форма называется положительно определенной областью если она не отрицательная.
- , причем обращается в ноль, в том случае если х = 0 ( ). Этот случай соответствует эллиптическому параболоиду.
- , .
- Знаконеопределенность.
соответствует п-мерному эллиптическому гиперболоиду (п-мерное седло)
Рассмотрим 2-мерное пространство:
| Если квадратная матрица называется положительно определенной, то и матрица положительно определенной. |
Рассмотрим разложение функции 2-х переменных в ряд Тейлора:
квадратичная матрица задается матрицей Н
матрица составленная из членов 2-го порядка
- матрица симметрична
Матрица Н – матрица Гесса.
- определение матрицы Гесса
Если матрица (матрица Гесса) в точке локального экстремума положительно определена, то это точка – локального минимума, если матрица отрицательно определена, то это точка – локального максимума, а если не определена – седловые точки.
Локальный max или min
Седловая точка
Минимизируем:
Найти частные производные:
1. (grad = 0);
2.
Эта система позволяет найти все точки экстремума:
те х1 и х2 которые удовлетворяют уравнениям и будет точками экстремума. |
Допустим, что . Надо составить функцию второго порядка и подставить и посмотреть их.
Необходимые условия – помогают охарактеризовать искомую точку:
- grad f = 0
Н ³ 0 – локальный минимум;
Н £ 0 – локальный максимум;
Н – не определена – седловая точка.
Для поиска используют численные методы.
Постановка:
Требуется , где х – вектор - т.к. нет ограничений задача безусловной оптимизации.
Есть черный ящик, который по заданным значениям х позволяет вычислить значение функции.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 152;